아치 계산기 (경간·높이로 반지름, 호 길이, 각도 계산)

아치 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

이 계산기는 원형 아치의 경간(폭)과 높이(라이즈)로 반지름, 호 길이, 중심각, 면적을 구합니다. 출입문, 창, 다리, 정원 아치를 만들 때 목수나 시공자, 정원 설계자가 곡선을 그리는 데 사용합니다.

폭과 높이 → 반지름: 기본값으로 계산하면 R = 75 cm(호 139.1cm · 106.3°)입니다.

계산 방법

반지름 R = (경간² ÷ 4 + 높이²) ÷ (2 × 높이)

중심각 θ = 2 × atan2(경간 ÷ 2, R − 높이)

호 길이 = R × θ(θ는 라디안)

아치 아래 면적 = R² × (θ − sin θ) ÷ 2

기준선 아래 중심까지 = R − 높이

높이가 경간의 절반이면 반원이고, 더 낮으면 분절 아치입니다.

원리

같은 경간이라도 높이가 달라지면 반지름과 곡선 모양이 크게 바뀝니다. 원형 아치는 양쪽 시작점과 꼭대기를 지나는 원의 일부입니다. 중심에서 시작점까지 선을 그으면 경간의 절반, R − 높이와 함께 직각삼각형이 되어 R² = (경간/2)² + (R − 높이)²가 성립합니다. 이를 R에 대해 풀면 공식이 나옵니다. 각도와 호 길이는 원의 기본 성질에서, 면적은 활꼴 공식에서 나옵니다.

예제 풀이

기본값: 경간 120cm, 높이 30cm

R = (120² ÷ 4 + 30²) ÷ (2 × 30) = (3,600 + 900) ÷ 60 = 75cm
θ = 2 × atan2(60, 45) = 2 × 53.13° = 106.3°, 높이/경간 0.25
호 길이 = 75 × 1.8546 = 139.1cm
면적 = 75² × (1.8546 − 0.96) ÷ 2 = 2,516cm², 중심은 기준선 아래 45cm → 분절 아치

다른 값은 그대로 두고 “경간, 개구부 폭 (cm)”만 바꿔 계산기를 다시 돌린 결과입니다. 금색 점이 예제 값이며, 위에 값을 입력하면 내 값으로 다시 그려집니다.

경간, 개구부 폭 (cm)	반지름 (cm)
30	18.8
60	30
90	48.8
120	75
150	108.8
180	150
240	255

결과 해석

반지름으로 중심점에서 줄이나 컴퍼스 막대를 써서 곡선을 그립니다. 호 길이는 휘어지는 판이나 몰딩이 얼마나 길어야 하는지 알려 줍니다. 조적이나 구조용 아치는 모양만으로 강도가 보장되지 않으며, 양쪽 지점에서 미는 힘을 받쳐야 합니다. 예제의 아치는 반원보다 낮은 분절 아치입니다.

흔한 실수

높이를 잘못된 기준선에서 재는 경우(시작선에서 꼭대기까지 잽니다)
반지름이 하나가 아닌 타원 아치와 혼동하는 경우
한 치수는 안쪽, 다른 치수는 바깥쪽으로 재는 경우
단위를 cm와 mm로 섞는 경우

주의: 이 계산기는 기하만 계산합니다. 구조용 아치나 내력벽 개구부는 지역 건축 기준과 자격을 갖춘 전문가의 검토가 필요합니다.

자주 묻는 질문

분절 아치란 무엇인가요?

반원보다 작은 아치로, 중심이 시작선 아래에 있습니다.

곡선은 어떻게 그리나요?

중심점에 줄이나 막대를 고정하고 반지름 길이로 맞춰 곡선을 그립니다.

아치 아래 면적은 어디에 쓰나요?

아치 모양 창의 유리나 판재 크기, 칠할 면적, 막을 개구부의 크기를 가늠하는 데 씁니다.

반원 아치의 반지름은 어떻게 되나요?

높이가 경간의 절반이면 반지름은 경간의 절반과 같고, 중심은 시작선 위에 있습니다.

타원 아치에도 쓸 수 있나요?

아닙니다. 타원 아치는 곡률이 변해 다른 공식이 필요합니다.

출처: Zwillinger D (ed.), CRC Standard Mathematical Tables and Formulas, 33rd ed., 2018, §4 Geometry

2026년 11월 8일 확인. 세 점을 지나는 원과 원의 활꼴 공식(현과 시상으로 구한 반지름, 호 길이 R·θ, 활꼴 넓이 R²(θ − sin θ)/2): D. Zwillinger (ed.), CRC Standard Mathematical Tables and Formulas, 33rd ed. (2018), §4 (Geometry).

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