홍라이프 계산기비어퐁 확률 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 삼각형 배치의 컵 개수, 내 명중률로 컵을 모두 맞히는 데 필요한 기대 투구 수, 정해진 투구 수 안에 모두 맞힐 확률을 계산합니다. 놀이를 통해 확률이 어떻게 작동하는지 볼 수 있는 재미있는 도구입니다.
계산 방법
컵 개수 c = r × (r + 1) ÷ 2(r은 줄 수)
기대 투구 수 = c ÷ p(p는 명중률)
N번 안에 모두 맞힐 확률 = Σ(k = c…N) C(N, k) × p^k × (1 − p)^(N − k)
N번 던져 기대되는 명중 수 = N × p
원리
이 계산은 매 투구가 서로 독립이고 명중률이 일정하다는 단순한 가정에서 출발합니다. r줄짜리 삼각형에는 삼각수만큼 컵이 들어갑니다. 매번 같은 확률로 맞히고 맞힐 때마다 컵이 하나씩 빠진다면, 모두 맞히는 데 걸리는 투구 수는 평균 c ÷ p인 음이항분포를 따릅니다. N번 안에 모두 맞힌다는 것은 N번의 독립 시행에서 c번 이상 성공한다는 뜻이므로 이항분포 확률로 계산합니다.
예제 풀이
기본값: 4줄, 명중률 25%, 30번 투구
- 컵 = 4 × 5 ÷ 2 = 10개
- 기대 투구 = 10 ÷ 0.25 = 40번, 기대 차례(한 차례 2번) = 20번
- 30번 던졌을 때 기대 명중 = 30 × 0.25 = 7.5개
- 30번 중 10번 이상 맞힐 확률 = 19.7%
| 던질 때마다의 명중률 (%) | 모든 컵을 맞히는 데 필요한 예상 던지기 횟수 |
|---|---|
| 6.25 | 160 |
| 12.5 | 80 |
| 18.8 | 53.3 |
| 25 | 40 |
| 31.2 | 32 |
| 37.5 | 26.7 |
| 50 | 20 |
결과 해석
기대값은 여러 번 했을 때의 평균이어서, 실제 한 판에서는 훨씬 빨리 끝나거나 오래 걸릴 수 있습니다. 30번은 기대값 40번보다 적어서 모두 맞힐 가능성은 낮아 약 다섯 번에 한 번꼴입니다. 명중률이 조금만 달라져도 결과가 크게 바뀝니다. 컵 재배치, 바운스, 볼 백 같은 하우스 규칙은 반영하지 않습니다.
흔한 실수
- 지치거나 손에 익으면서 명중률이 변하는데 일정하다고 보는 경우
- 상대 팀의 방어가 결과를 바꾼다는 점을 잊는 경우
- 기대 투구 수를 반드시 그만큼 걸리는 수로 생각하는 경우
- 명중률을 소수와 백분율로 섞어 넣는 경우
- 한두 판의 결과만 보고 자신의 명중률을 정하는 경우(던진 횟수가 많을수록 추정이 정확합니다)
- 두 사람이 번갈아 던지는데 한 사람의 명중률만 넣는 경우
자주 묻는 질문
6줄이면 컵이 몇 개인가요?
6 × 7 ÷ 2 = 21개입니다.
기본 배치에는 컵이 몇 개인가요?
4줄에 10개입니다.
기대 투구 수가 왜 c ÷ p인가요?
컵 하나를 맞히는 데 평균 1 ÷ p번이 걸리기 때문입니다.
명중률 50%라면 결과가 어떻게 되나요?
기대 투구 수가 20번으로 줄어 30번 안에 모두 맞힐 확률이 훨씬 커집니다.
3줄 배치는 컵이 몇 개인가요?
3 × 4 ÷ 2 = 6개입니다.
명중률은 어떻게 알 수 있나요?
연습으로 20~30번 던져 맞힌 비율을 세면 대략적인 값을 얻을 수 있습니다.
맞히는 순서도 중요한가요?
이 계산에서는 상관없고 맞힌 횟수만 중요합니다.
출처: Ross SM, A First Course in Probability, Pearson (binomial and negative binomial distributions)