홍라이프 계산기리틀우드 법칙 기적 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 리틀우드의 법칙을 적용해, 하루에 알아차리는 사건 수를 바탕으로 '백만 분의 일' 사건이 보통 사람에게 얼마나 자주 일어나는지 보여 줍니다. 우연의 일치를 이해하고, 놀라운 일이 직관보다 자주 일어나는 이유를 알아보는 재미있는 방법입니다.
계산 방법
- 하루 사건 수 n = 초당 사건 × 깨어 있는 시간 × 3,600
- N분의 1 확률일 때 기대 대기 = N ÷ n일
- D일 동안 기대 횟수 = n × D ÷ N
- 하루에 한 번 이상 일어날 확률 = 1 − (1 − 1/N)^n, 기간 동안 = 1 − (1 − 1/N)^(n × D)
- 확률 50%까지 걸리는 날 = ln 0.5 ÷ (n × ln(1 − 1/N))
원리
수학자 J. E. 리틀우드는 하루 8시간쯤 깨어 주의를 기울이며 1초에 하나 정도의 '사건'을 알아차린다면 약 35일 동안 백만 개의 사건을 겪는다고 보았습니다. 그러니 백만 분의 일 확률의 일은 한 달에 한 번쯤 일어나야 합니다. 각 사건을 독립적인 기회로 보면, 기회가 아주 많을 때 드문 일이 적어도 한 번 일어날 확률은 높아집니다. 같은 논리로 큰 인구 집단에서는 복권에 두 번 당첨되거나 외국에서 오랜 친구를 우연히 만나는 사람이 생깁니다.
예제 풀이
기본값: 백만 분의 1, 초당 1개, 하루 8시간, 365일
- 하루 사건 수 = 1 × 8 × 3,600 = 28,800
- 기대 대기 = 1,000,000 ÷ 28,800 = 34.7일
- 1년 기대 횟수 = 28,800 × 365 ÷ 1,000,000 = 10.5회
- 하루 확률 = 1 − (1 − 10⁻⁶)^28,800 = 2.84%, 1년 동안은 사실상 100%
- 50% 도달 = ln 0.5 ÷ (28,800 × −0.000001) = 24.1일
| 1초에 알아차리는 사건 수 | 그런 사건 1번까지 예상 대기 일수 |
|---|---|
| 0.25 | 138.9 |
| 0.5 | 69.4 |
| 0.75 | 46.3 |
| 1 | 34.7 |
| 1.25 | 27.8 |
| 1.5 | 23.1 |
| 2 | 17.4 |
결과 해석
기적을 예측하려는 것이 아니라 기회가 많으면 드문 일도 흔해진다는 점을 보여 주는 계산입니다. 놀라운 일이 생겼을 때 똑같이 놀라웠을 다른 우연이 얼마나 많았을지 떠올려 보면 도움이 됩니다. 통계학자들이 한 번의 놀라운 사건을 특별한 증거로 받아들이는 데 신중한 이유도 여기에 있습니다. 확률이나 깨어 있는 시간을 바꿔 넣어 보면 우연이 얼마나 쉽게 쌓이는지 직접 느낄 수 있습니다.
흔한 실수
- 결과를 특정 사건에 대한 예언으로 보는 경우
- '기적'으로 칠 수 있는 우연의 종류가 얼마나 많은지 무시하는 경우
- 서로 연결된 사건을 독립으로 가정하는 경우
- 100%를 절대적인 확실성으로 읽는 경우(반올림한 값입니다)
자주 묻는 질문
리틀우드의 법칙이란?
하루 8시간 동안 초당 하나의 사건을 겪는다면 백만 분의 일 사건을 한 달에 한 번쯤 겪는다는 생각입니다.
우연의 일치는 왜 이렇게 자주 일어나나요?
하루에도 기회가 매우 많아 드문 조합 일부가 일어날 가능성이 높아지기 때문입니다.
백만 분의 일 사건이 50% 확률이 되려면?
기본 가정으로 약 24일입니다.
출처: J. E. Littlewood, Littlewood's Miscellany (Cambridge University Press, 1986)