절댓값 계산기 (실수의 |x|, 복소수의 |a + bi|)

절댓값 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

이 계산기는 실수의 절댓값 |x|나 복소수의 절댓값(크기) |a + bi|를 구합니다. 정확한 꼴, a² + b², 편각, 같은 절댓값을 갖는 다른 수도 보여 줍니다. 숙제, 오차의 크기, 거리 계산에 쓸 수 있습니다.

계산 방법

실수: x ≥ 0이면 |x| = x, x < 0이면 |x| = −x

복소수 z = a + bi: |z| = √(a² + b²)

편각 = 점 (a, b)가 양의 실수축과 이루는 각

• a와 b가 정수이면 근호를 간단히 합니다. 예: |2 + 4i| = √20 = 2√5
• 실수라면 같은 절댓값을 갖는 수는 x와 −x입니다.

원리

절댓값은 0으로부터의 거리이고, 거리는 음수가 될 수 없습니다. 수직선에서 −7.5와 7.5는 모두 0에서 7.5만큼 떨어져 있습니다. 복소수 a + bi는 실수축과 허수축으로 된 평면 위의 점이므로, 원점에서의 거리는 피타고라스 정리로 √(a² + b²)입니다. 예를 들어 |3 + 4i| = √(9 + 16) = 5입니다. 절댓값과 편각을 함께 쓰면 복소수의 극형식이 됩니다.

예제 풀이

기본값: a = −7.5, b = 0.

1. 수는 실수 −7.5이며, 수직선(number line) 위의 거리로 잽니다.
2. −7.5 < 0이므로 |−7.5| = −(−7.5) = 7.5, 정확한 꼴도 7.5입니다.
3. a² + b² = 56.25 + 0 = 56.25이고, √56.25 = 7.5로 확인됩니다.
4. 점이 음의 실수축 위에 있으므로 편각은 180°입니다.
5. 같은 절댓값을 갖는 수는 7.5, −7.5입니다.

결과 해석

절댓값은 항상 0 이상이며, 0이 되는 것은 0뿐입니다. 응용에서는 방향 없이 크기만 나타냅니다. −0.3과 +0.3의 오차는 크기가 같고, 두 수 p와 q 사이의 거리는 |p − q|입니다. 복소수의 경우 절댓값이 같은 점들은 원점을 중심으로 한 원 위에 놓입니다. 예를 들어 |z| = 5인 복소수에는 5, −5, 5i, 3 + 4i, −3 − 4i 등이 모두 포함됩니다. 프로그래밍에서는 이런 거리 계산에 흔히 hypot 함수를 써서 큰 수에서도 넘침 없이 계산합니다.

흔한 실수

• 식 안의 빼기 부호를 항마다 지우는 경우(|a − b|는 |a| − |b|가 아닙니다)
• |a + bi|를 √(a² + b²) 대신 |a| + |b|로 계산하는 경우
• |x| = 5의 해가 5와 −5 두 개라는 점을 잊는 경우
• 편각을 도와 라디안 중 다른 단위로 쓰는 경우

자주 묻는 질문

−7.5의 절댓값은?

7.5입니다.

3 + 4i의 절댓값은?

√(3² + 4²) = 5입니다.

절댓값이 음수일 수 있나요?

없습니다. 거리이므로 항상 0 이상입니다.

두 수 사이의 거리는 어떻게 구하나요?

두 수를 빼서 절댓값을 취합니다. 3과 −2 사이의 거리는 |3 − (−2)| = 5입니다.

출처: OpenStax, Prealgebra 2e (2020), §3.1 Introduction to Integers · OpenStax, Precalculus 2e (2021), §8.5 Polar Form of Complex Numbers