절댓값 방정식 계산기 (|ax + b| = c, |ax + b| = cx + d 풀이)

절댓값 방정식 풀이 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

이 계산기는 |ax + b| = c 꼴, 더 일반적으로는 |ax + b| = cx + d 꼴의 방정식을 풉니다. 두 경우로 나누어 각각 풀고, 우변이 음수가 되는 후보는 버립니다. 대수 숙제를 단계별로 확인할 때 쓸 수 있습니다.

계산 방법

|A| = B(B ≥ 0)는 A = B 또는 A = −B와 같습니다.

경우 1: ax + b = cx + d이므로 x = (d − b) ÷ (a − c)

경우 2: ax + b = −(cx + d)이므로 x = −(b + d) ÷ (a + c)

• 후보는 그 x에서 우변 cx + d가 0 이상일 때만 남기고, 아니면 무연근으로 버립니다.
• c = 0이면 우변이 상수 d입니다. d < 0이면 해가 없고, d = 0이면 하나, d > 0이면 두 개입니다.
• 어떤 경우가 항등식이 되면 −b/a의 한쪽에 있는 모든 x가 해입니다.

원리

절댓값은 거리이므로 음수가 될 수 없습니다. 그래서 |A|가 0 이상의 수 B와 같다는 것은 A가 0에서 양쪽 어느 방향으로든 B만큼 떨어져 있다는 뜻, 즉 A = B 또는 A = −B입니다. 각 경우는 평범한 일차방정식입니다. 우변에 x가 있으면 풀어서 나온 값에서 cx + d가 음수일 수 있는데, 그런 값은 원래 방정식을 만족할 수 없습니다. 그래서 후보마다 반드시 확인해야 합니다.

예제 풀이

기본값: a = 2, b = −3, c = 0, d = 7, 즉 |2x − 3| = 7.

1. 우변이 양수인 상수 7이므로 해가 두 개 나올 것으로 예상합니다.
2. 경우 1: 2x − 3 = 7, 2x = 10이므로 x = 5입니다.
3. 경우 2: 2x − 3 = −7, 2x = −4이므로 x = −2입니다.
4. 확인: |2·5 − 3| = |7| = 7, |2·(−2) − 3| = |−7| = 7로 버린 해는 없습니다.
5. 해는 x = −2; x = 5, 해의 개수는 2개입니다.

결과 해석

그래프로 보면 해는 V자 모양인 y = |ax + b|와 직선 y = cx + d가 만나는 점의 x좌표입니다. V자와 직선은 두 번, 한 번 만나거나 만나지 않을 수 있고, 직선이 V의 한쪽 팔과 겹치면 반직선 전체를 공유합니다. 버린 값이 표시되었다면, 직선이 존재하지 않는 V의 뒤집힌 부분과 만나는 자리라고 생각하면 됩니다. 이렇게 그래프를 함께 그려 보면 해의 개수를 미리 짐작할 수 있어 풀이 실수를 줄일 수 있습니다.

흔한 실수

• 양수인 경우만 풀어 두 번째 해를 놓치는 경우
• 우변에 x가 있는데 후보를 확인하지 않는 경우
• |2x − 3| = −7에 해가 있다고 쓰는 경우(절댓값은 음수가 될 수 없습니다)
• 경우 2에서 빼기 부호를 첫 항에만 분배하는 경우

자주 묻는 질문

절댓값 방정식의 해는 몇 개까지 나오나요?

|ax + b| = d(a ≠ 0)이면 d < 0일 때 0개, d = 0일 때 1개, d > 0일 때 2개입니다.

무연근이란 무엇인가요?

계산 과정에서는 나왔지만 원래 방정식을 만족하지 않는 값입니다.

|x − 4| = 2x는 어떻게 푸나요?

a = 1, b = −4, c = 2, d = 0을 넣습니다. 경우 1의 x = −4는 2x가 음수라 버리고, 경우 2에서 x = 4/3을 얻습니다.

출처: OpenStax, College Algebra 2e (2021), §2.6 Other Types of Equations