다항식 덧셈·뺄셈 계산기 (동류항 정리)

다항식의 덧셈과 뺄셈 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

이 계산기는 x에 대한 두 다항식을 동류항끼리 묶어 더하거나 뺍니다. 입력을 정리하고, 뺄셈이면 둘째 다항식의 부호를 바꾼 모습을 보여 주며, 동류항을 줄 맞춰 나열하고, 결과와 차수, x = 1에서의 빠른 검산을 함께 보여 줍니다.

계산 방법

동류항은 x의 차수가 같은 항입니다. 더할 때는 계수끼리 더하고 차수는 그대로 둡니다. 3x³ + x³ = 4x³

뺄 때는 둘째 다항식의 모든 항의 부호를 바꾼 뒤 더합니다.

(P) − (Q) = P + (−Q)

• 없는 차수의 항은 계수를 0으로 봅니다.
• 결과의 차수 = 계수가 0이 아닌 가장 높은 차수이며, 최고차항이 지워지면 낮아질 수 있습니다.
• 검산: x = 1에서의 결과값은 두 다항식 계수 합의 합(또는 차)과 같습니다.

원리

다항식은 수와 x의 거듭제곱을 곱한 항들의 합입니다. 차수가 다른 항은 미터와 제곱미터를 더할 수 없는 것처럼 합칠 수 없습니다. 동류항 정리는 분배법칙을 거꾸로 쓴 것으로, 3x³ + x³ = (3 + 1)x³입니다. 뺄셈은 괄호 안 모든 항에 빼기 부호를 분배하는 것인데, 실수가 가장 많이 나오는 곳입니다. x = 1을 넣으면 모든 거듭제곱이 1이 되어 각 다항식이 계수의 합이 되므로 빠른 검산이 됩니다.

예제 풀이

기본값: (3x³ + 2x² − 5x + 7) − (x³ − 4x² + 6).

1. 둘째 다항식의 부호를 바꾸면 −x³ + 4x² − 6입니다.
2. x³항: 3x³ − x³ = 2x³입니다.
3. x²항: 2x² + 4x² = 6x²입니다.
4. x항은 −5x 그대로, 상수항은 7 − 6 = 1입니다.
5. 결과는 2x³ + 6x² − 5x + 1, 차수 3, 항 4개입니다. 검산: (3 + 2 − 5 + 7) − (1 − 4 + 6) = 7 − 3 = 4이고, 2 + 6 − 5 + 1 = 4입니다.

결과 해석

결과는 화면처럼 차수가 높은 항부터 내림차순으로 적으십시오. 결과의 차수가 두 입력보다 낮다면 최고차항이 서로 지워진 것으로, 오류가 아니라 올바른 결과입니다. x = 1 검산으로 대부분의 부호 실수를 잡을 수 있고, x = −1이나 x = 2로 한 번 더 확인하면 나머지도 잡을 수 있습니다.

흔한 실수

• 둘째 다항식의 첫 항만 부호를 바꾸는 경우
• 동류항을 더하며 지수까지 더하는 경우(x² + x²는 x⁴가 아니라 2x²입니다)
• 2x²와 3x처럼 동류항이 아닌 항을 합치는 경우
• x³처럼 계수가 1인 항을 빠뜨리는 경우

자주 묻는 질문

다항식의 뺄셈은 어떻게 하나요?

빼는 다항식의 모든 항의 부호를 바꾼 다음 동류항끼리 정리합니다.

동류항이란?

4x²와 −x²처럼 문자와 차수가 같은 항입니다.

다항식의 차수란?

계수가 0이 아닌 항 가운데 x의 가장 높은 차수입니다.

세 개 이상의 다항식도 더할 수 있나요?

두 개씩 차례로 계산하면 됩니다. 결과를 첫째 칸에 넣고 다음 다항식을 둘째 칸에 넣으십시오.

출처: OpenStax, Elementary Algebra 2e (2020), §6.1 Add and Subtract Polynomials