홍라이프 계산기수반행렬 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 정사각행렬의 여인수로 수반행렬(adjugate, 고전적 수반행렬)을 구합니다. 행렬식, 역행렬이 있으면 역행렬, 그리고 A·adj(A) = det(A)·I 검산도 함께 보여 줍니다. 선형대수 숙제, 크라메르 공식, 작은 행렬의 손계산 역행렬에 쓸 수 있습니다.
계산 방법
소행렬 M_ij = A에서 i행과 j열을 지운 행렬
여인수 C_ij = (−1)^(i+j) × det(M_ij)
adj(A) = 여인수 행렬의 전치: adj(A)_ij = C_ji
A·adj(A) = adj(A)·A = det(A)·I
det(A) ≠ 0이면 A⁻¹ = adj(A) ÷ det(A)
- 2 × 2 행렬 [a b; c d]의 수반행렬은 [d −b; −c a]입니다.
- 성분은 정수, 소수, 분수 모두 되며, 정수 행렬은 정확한 값으로 나옵니다.
원리
행렬식을 i행으로 전개하면 det(A) = Σ a_ik C_ik입니다. i행을 다른 행의 여인수와 짝지으면 같은 행이 두 개인 행렬의 행렬식이 되어 0이 됩니다. 여인수를 전치한 자리에 놓으면 정확히 이런 곱들이 배열되어, A·adj(A)의 대각선에는 det(A)가, 나머지에는 0이 놓입니다. 그래서 수반행렬을 행렬식으로 나누면 역행렬이 됩니다. 역행렬과 달리 수반행렬은 특이행렬을 포함해 모든 정사각행렬에 존재합니다.
예제 풀이
기본값: A = [1 −1 2; 1 1 1; 1 3 −1].
- C₁₁ = +det[1 1; 3 −1] = −4, C₁₂ = −det[1 1; 1 −1] = 2, C₁₃ = +det[1 1; 1 3] = 2입니다.
- 2행: C₂₁ = −det[−1 2; 3 −1] = 5, C₂₂ = +det[1 2; 1 −1] = −3, C₂₃ = −det[1 −1; 1 3] = −4입니다.
- 3행: C₃₁ = +det[−1 2; 1 1] = −3, C₃₂ = −det[1 2; 1 1] = 1, C₃₃ = +det[1 −1; 1 1] = 2입니다.
- 전치하면 adj(A) = [−4 5 −3; 2 −3 1; 2 −4 2]입니다.
- det(A) = 1·(−4) + (−1)·2 + 2·2 = −2이므로 A·adj(A) = [−2 0 0; 0 −2 0; 0 0 −2], A⁻¹ = [2 −5/2 3/2; −1 3/2 −1/2; −1 2 −1]이며 크기는 3 × 3입니다.
결과 해석
det(A) = 0이면 역행렬은 없지만 수반행렬은 여전히 존재하며, 이때 A·adj(A)는 영행렬입니다. 여인수 방법은 3 × 3까지는 손으로 할 만하지만, 더 큰 행렬은 소거법이 훨씬 빠릅니다. 그래도 수반행렬은 증명과 크라메르 공식에서 계속 쓰입니다.
흔한 실수
- 여인수 행렬을 전치하지 않는 경우
- 바둑판 부호 (−1)^(i+j)를 틀리는 경우
- 수반행렬을 켤레전치(이것도 adjoint라 부르기도 합니다)와 혼동하는 경우
- 행렬식이 0인데 나누는 경우
자주 묻는 질문
2 × 2 행렬의 수반행렬은?
대각 성분을 서로 바꾸고 나머지 두 성분의 부호를 바꾼 [d −b; −c a]입니다.
수반행렬과 역행렬은 같은가요?
아닙니다. 역행렬은 수반행렬을 행렬식으로 나눈 것이며, 행렬식이 0이 아닐 때만 있습니다.
특이행렬에도 수반행렬이 있나요?
네, 모든 정사각행렬에 있습니다.
출처: A. Davis, P. Zachlin et al., Coordinated Linear Algebra (University of Nebraska–Lincoln), §5.3 · D. Margalit & J. Rabinoff, Interactive Linear Algebra, §4.2 Cofactor Expansions