홍라이프 계산기역로그 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
역로그(antilog)는 로그를 되돌리는 계산입니다. log_b(x) = y이면 x는 밑이 b인 y의 역로그이며, 그 값은 bʸ입니다. 로그 눈금으로 나타낸 값을 원래 크기로 되돌릴 때 필요합니다. pH에서 수소 이온 농도를 구할 때, 데시벨에서 전력비를 구할 때, 로그표를 찾아 원래 수를 구할 때, 로그로 회귀분석한 결과를 해석할 때가 대표적입니다.
계산 방법
- 밑이 b인 역로그: antilog_b(y) = bʸ입니다.
- 자연로그의 역로그: eʸ이며, e ≈ 2.718281828입니다. 참고용으로 함께 표시됩니다.
로그값 y는 양수, 0, 음수 모두 가능합니다. 밑은 1이 아닌 양수여야 하며, 밑 10은 상용로그의 역로그입니다.
원리
로그함수와 지수함수는 서로 역함수 관계입니다. b^(log_b x) = x이고 log_b(bʸ) = y이므로, 역로그는 로그를 구할 때 쓴 밑으로 거듭제곱하는 것과 같습니다. y를 정수 부분과 소수 부분으로 나누어 보면 예전 로그표의 원리를 알 수 있습니다. 10^2.5 = 10² × 10^0.5에서 정수 부분(지표)은 소수점의 위치만 정하고, 소수 부분(가수)이 실제 숫자 배열을 정합니다. 그래서 역로그표에는 0과 1 사이의 값만 실어도 충분했습니다.
예제 풀이
- 입력값: 로그값 y = 2.5, 밑 10입니다.
- 지수를 나눕니다. 10^2.5 = 10² × 10^0.5입니다.
- 10² = 100이고 10^0.5 = √10 ≈ 3.16227766입니다.
- 역로그 = 100 × 3.16227766 = 316.227766입니다.
- 비교하면 자연로그의 역로그 e^2.5 ≈ 12.18249396이며, e가 10보다 작으므로 훨씬 작은 값입니다.
| 로그 값 | 역로그 (bʸ) |
|---|---|
| 0.625 | 4.216965034 |
| 1.25 | 17.7827941 |
| 1.88 | 74.98942093 |
| 2.5 | 316.227766 |
| 3.12 | 1,333.521432 |
| 3.75 | 5,623.413252 |
| 5 | 100,000 |
결과 해석
y가 1 커질 때마다 역로그는 밑의 배수만큼 커집니다. 밑 10에서 y = 2.5이면 약 316, y = 3.5이면 약 3,162입니다. y가 음수이면 결과는 0과 1 사이이며, 밑 10에서 −2.5의 역로그는 약 0.00316입니다. pH에서는 [H⁺] = 10^(−pH) mol/L이므로 pH 2.5는 약 0.00316 mol/L에 해당합니다. 데시벨에서는 전력비가 10^(dB/10)이므로 25 dB는 전력비 약 316입니다.
흔한 실수
- 밑을 잘못 고르는 경우입니다. 역로그는 y를 만든 로그와 같은 밑을 써야 합니다.
- pH처럼 음의 로그로 정의된 척도에서 부호를 빠뜨리는 경우입니다.
- 전압이나 음압 같은 진폭량에 10^(dB/10)을 쓰는 경우입니다. 진폭량은 10^(dB/20)입니다.
- 역로그를 1 ÷ log로 오해하는 경우입니다. 역수가 아니라 거듭제곱입니다.
자주 묻는 질문
역로그는 10의 x제곱과 같은가요?
상용로그라면 같습니다. 자연로그의 역로그는 eˣ, 밑이 2이면 2ˣ입니다.
공학용 계산기에서는 어떻게 구하나요?
밑 10은 10ˣ 키(보통 SHIFT + log), 자연로그는 eˣ 키(SHIFT + ln)를 사용합니다.
역로그가 음수가 될 수도 있나요?
아닙니다. 양수인 밑을 몇 제곱하든 결과는 항상 0보다 큽니다.
출처: NIST Digital Library of Mathematical Functions, Chapter 4: Elementary Functions (§4.2) · IUPAC, Compendium of Chemical Terminology (Gold Book), "pH"