홍라이프 계산기호의 길이·부채꼴 넓이 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
호는 원둘레의 일부분이고, 부채꼴은 두 반지름과 그 호로 둘러싸인 조각입니다. 반지름과 중심각을 넣으면 호의 길이, 부채꼴의 넓이, 현(호의 양 끝을 잇는 선분)의 길이, 활꼴(현과 호 사이의 영역)의 넓이를 함께 구합니다. 곡선 도로나 산책로, 구부린 철판, 원그래프, 아치형 창, 와이퍼나 문이 쓸고 지나가는 면적을 계산할 때 쓰입니다.
계산 방법
먼저 각을 라디안으로 바꿉니다. θ = 도 × π / 180입니다.
- 호의 길이: l = rθ
- 부채꼴의 넓이: S = ½r²θ
- 현의 길이: 2r sin(θ/2)
- 활꼴의 넓이: ½r²(θ − sin θ)
호와 현은 r과 같은 단위, 두 넓이는 그 단위의 제곱으로 나옵니다.
원리
1라디안은 반지름과 같은 길이의 호에 대한 중심각으로 정의됩니다. 한 바퀴는 2π 라디안이고 원주는 2πr이므로, 호의 길이는 원주에서 중심각이 차지하는 비율만큼, 즉 l = rθ입니다. 부채꼴의 넓이도 원 넓이의 같은 비율이므로 (θ / 2π) × πr² = ½r²θ가 됩니다. 현은 두 반지름이 만드는 이등변삼각형을 반으로 나누어 얻습니다. 빗변이 r, 각이 θ/2인 직각삼각형에서 현의 절반은 r sin(θ/2)입니다. 활꼴은 부채꼴에서 넓이가 ½r² sin θ인 이 삼각형을 뺀 부분입니다.
예제 풀이
- 입력값은 r = 10, 중심각 60°이므로 θ = π/3 ≈ 1.047198 라디안입니다.
- 호의 길이는 10 × 1.047198 = 10.47197551입니다.
- 부채꼴의 넓이는 ½ × 100 × 1.047198 = 52.35987756입니다.
- 현의 길이는 2 × 10 × sin 30° = 10입니다.
- 삼각형의 넓이는 ½ × 100 × sin 60° ≈ 43.30127이므로 활꼴의 넓이는 52.35988 − 43.30127 = 9.058607371입니다.
| 반지름 | 호의 길이 |
|---|---|
| 2.5 | 2.617993878 |
| 5 | 5.235987756 |
| 7.5 | 7.853981634 |
| 10 | 10.47197551 |
| 12.5 | 13.08996939 |
| 15 | 15.70796327 |
| 20 | 20.94395102 |
결과 해석
중심각이 60°이면 두 반지름과 현이 정삼각형을 이루므로 현의 길이가 반지름과 같습니다. 호는 언제나 현보다 조금 길며, 그 차이는 각이 작을 때는 매우 작고 각이 커질수록 벌어집니다. 180°에서는 현이 지름이 되고 활꼴은 반원이 됩니다. 부채꼴에 비해 활꼴 넓이가 작다면 호가 거의 평평하다는 뜻입니다.
흔한 실수
- l = rθ에 도 단위를 그대로 넣는 경우입니다. 반드시 라디안이어야 합니다.
- 중심까지 이어진 부채꼴과 현으로 잘린 활꼴을 혼동하는 경우입니다.
- 반지름 대신 지름을 넣는 경우입니다.
자주 묻는 질문
호의 길이로 중심각을 구하려면요?
θ = l ÷ r(라디안)이고, 180/π를 곱하면 도가 됩니다. 반지름 10에서 호가 5이면 0.5 라디안, 약 28.65°입니다.
도 단위로 바로 계산하는 공식도 있나요?
네. 호의 길이는 2πr × (각/360), 부채꼴 넓이는 πr² × (각/360)으로 같은 값이 나옵니다.
중심각이 180°보다 커도 되나요?
네. 360°까지 모든 식이 그대로 성립하며, 활꼴은 원의 절반보다 큰 부분이 됩니다.
출처: BIPM, The International System of Units (SI Brochure), 9th edition, 2019 (definition of the radian) · Euclid, Elements, Book III (properties of chords and arcs)