초승달 넓이 계산기 (겹치는 원을 잘라 낸 원의 넓이)

초승달 모양 넓이 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

이 계산기는 원에서 겹치는 다른 원을 잘라 내고 남은 초승달 모양의 넓이를 구합니다. 겹친 부분(렌즈)의 넓이, 원래 원의 넓이, 남은 비율도 함께 보여 줍니다. 기하 문제, 로고나 달 모양 디자인, 원단이나 판재 재단에 쓸 수 있습니다.

계산 방법

초승달 넓이 = πR² − 렌즈 넓이

두 원이 일부만 겹칠 때(|R − r| < d < R + r):

렌즈 = r² arccos((d² + r² − R²) ÷ (2dr)) + R² arccos((d² + R² − r²) ÷ (2dR)) − ½ √((−d + r + R)(d + r − R)(d − r + R)(d + r + R))

• R은 바깥 원의 반지름, r은 잘라 내는 원의 반지름, d는 두 중심 사이의 거리입니다.
• d ≥ R + r이면 두 원이 닿지 않아 원 전체가 남습니다.
• 잘라 내는 원이 완전히 안에 있으면 구멍 난 고리 모양(πR² − πr²)이 되고, 바깥 원을 덮으면 아무것도 남지 않습니다.

원리

두 원판이 겹친 부분은 각 원에서 하나씩 나온 활꼴 두 개로 된 렌즈 모양입니다. 활꼴은 부채꼴에서 삼각형을 뺀 것입니다. arccos 항들은 두 부채꼴의 넓이(반지름² × 중심각 ÷ 2를 반각으로 쓴 것)를 주고, 제곱근 항은 두 중심과 두 교점이 이루는 연꼴의 넓이를 헤론의 공식으로 구한 것입니다. 바깥 원에서 렌즈를 빼면 초승달이 남습니다.

예제 풀이

기본값: R = 10cm, r = 8cm, d = 6cm.

1. 바깥 원 = π × 10² = 314.159cm²입니다.
2. 첫째 arccos 안의 값 = (36 + 64 − 100) ÷ 96 = 0이므로 arccos = π/2, 항은 64 × 1.5708 = 100.53입니다.
3. 둘째 값 = (36 + 100 − 64) ÷ 120 = 0.6, arccos 0.6 = 0.9273이므로 항은 100 × 0.9273 = 92.73입니다.
4. 제곱근 항 = ½ √(12 × 4 × 8 × 24) = ½ √9,216 = 48이므로 렌즈 = 100.53 + 92.73 − 48 = 145.26cm²입니다.
5. 초승달 = 314.159 − 145.26 = 168.899cm²로 원의 53.76%이며, 모양은 Crescent입니다.

결과 해석

남은 비율은 초승달이 얼마나 가는지를 보여 줍니다. d가 R − r에 가까워지면 잘라 내는 원이 안으로 들어가 고리 모양이 되고, R + r에 가까워지면 겹침이 사라집니다. 넓이는 입력한 길이 단위의 제곱으로 나옵니다. 디자인에서 더 가는 초승달을 원하면 d를 줄이거나 r을 키우면 됩니다.

흔한 실수

• 반지름 대신 지름을 넣는 경우
• d를 중심 사이가 아니라 원의 가장자리 사이로 재는 경우
• 손계산에서 arccos 값을 도 단위로 쓰는 경우(라디안이어야 합니다)
• 초승달을 원의 절반이라고 짐작하는 경우

자주 묻는 질문

초승달 모양의 넓이는 어떻게 구하나요?

바깥 원의 넓이에서 두 원이 겹친 부분의 넓이를 뺍니다.

기하에서 렌즈란?

겹쳐진 두 원이 공유하는 영역입니다.

잘라 내는 원이 완전히 안에 있으면요?

넓이가 πR² − πr²인 고리 모양이 됩니다.

출처: E. W. Weisstein, "Circle-Circle Intersection", Wolfram MathWorld, eq. (15)