홍라이프 계산기최소 1회 성공 확률 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
최소 1회 성공 확률 계산기는 '아이템이 1% 확률로 나온다면 100번 시도했을 때 한 번이라도 얻을 확률은?', '90% 확률로 얻으려면 몇 번 해야 할까?' 같은 질문에 답합니다. 게임 드롭률과 가챠 뽑기, 품질검사 표본, 반복되는 안전 위험처럼 같은 독립 확률이 여러 번 되풀이되는 상황에 쓰입니다.
계산 방법
- P(적어도 한 번) = 1 − (1 − p)ⁿ입니다. p는 한 번 시도할 때의 확률을 소수로 나타낸 값(1% = 0.01), n은 시도 횟수입니다.
- 목표 확률 T에 필요한 횟수 = ln(1 − T) ÷ ln(1 − p)입니다. 계산기는 T = 50%, 90%, 99%의 값을 보여 줍니다.
필요 횟수는 소수로 표시되므로 실제로는 다음 정수로 올려 읽어야 목표에 도달합니다. 시도당 확률은 0%보다 크고 100%보다 작아야 합니다.
원리
'적어도 한 번'은 '한 번도 안 됨'의 여사건입니다. 매번 실패할 확률이 1 − p이고 시도가 서로 독립이면, n번 모두 실패할 확률은 (1 − p)를 n번 곱한 값입니다. 이를 1에서 빼면 적어도 한 번 성공할 확률이 됩니다. (1 − p)ⁿ = 1 − T를 로그로 풀면 필요한 횟수가 나옵니다. 1/p번 시도하면 확률이 100%가 아니라 약 1 − e^(−1) ≈ 63%라는 점도 기억해 두면 좋습니다.
예제 풀이
- 입력값: 시도당 확률 1%(p = 0.01), 시도 100회입니다.
- 매번 실패할 확률은 0.99¹⁰⁰ ≈ 0.36603입니다.
- P(적어도 한 번) = 1 − 0.36603 ≈ 63.4%입니다.
- 50%에 필요한 횟수는 ln 0.5 ÷ ln 0.99 ≈ 68.97을 올림한 69회입니다.
- 90%는 ln 0.1 ÷ ln 0.99 ≈ 229.11이므로 230회, 99%는 ln 0.01 ÷ ln 0.99 ≈ 458.21이므로 459회입니다. 시도는 소수 번 할 수 없으므로 계산기는 항상 올림합니다.
| 1회당 확률 (%) | P(적어도 한 번) |
|---|---|
| 0.25 | 22.14% |
| 0.5 | 39.42% |
| 0.75 | 52.9% |
| 1 | 63.4% |
| 1.25 | 71.57% |
| 1.5 | 77.94% |
| 2 | 86.74% |
결과 해석
시도 횟수를 두 배로 늘려도 확률은 두 배가 되지 않습니다. 1% 확률에서 100회는 63%, 200회는 약 87%입니다. 마지막 몇 %가 특히 비쌉니다. 90%에서 99%로 올리려면 90%까지 온 만큼을 한 번 더 시도해야 합니다. 예산을 세울 때는 90%나 99% 값을 기준으로 삼으세요. 50% 값은 절반의 사람이 그보다 더 많이 시도해야 한다는 뜻입니다.
흔한 실수
- p에 n을 곱해 1% × 100 = 100%로 계산하는 경우(확률을 크게 부풀립니다)
- 여러 번 실패했으니 이제 나올 차례라고 믿는 경우(독립 시행이면 다음 확률도 그대로 p입니다)
- 천장(보장) 제도가 있는 게임에 그대로 적용하는 경우
자주 묻는 질문
1 − (1 − p)ⁿ은 이항분포와 같은 것인가요?
네. n번 시행에서 성공이 0번일 이항확률을 1에서 뺀 값입니다.
시도마다 확률이 다르면 어떻게 하나요?
각 시도의 실패 확률 (1 − p₁)(1 − p₂)…를 모두 곱한 뒤 1에서 빼면 됩니다.
1% 확률을 100번 하면 왜 확실하지 않나요?
매번 독립적으로 실패할 수 있어 100번 모두 실패할 확률이 여전히 약 36.6%이기 때문입니다.
출처: Ross, S. M., A First Course in Probability (Pearson), binomial random variables · Feller, W., An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1 (Wiley)