벤포드 법칙 계산기 (데이터 첫째 자리 숫자 검정)

벤포드 법칙 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

이 계산기는 데이터의 첫 자리 숫자가 벤포드 법칙을 따르는지 검정합니다. 1~9의 첫 자리 숫자를 세어 벤포드 비율과 비교하고, 카이제곱 검정, p값, 평균 절대 편차를 보여 줍니다. 감사인, 데이터 기자, 학생들이 이상한 숫자 패턴을 빠르게 걸러 볼 때 씁니다.

계산 방법

벤포드 비율 P(D) = log₁₀(1 + 1/D), D = 1 … 9

기대 개수 = n × P(D)

χ² = Σ (관측 − 기대)² ÷ 기대, 자유도 8

평균 절대 편차(MAD) = 9개 숫자에 대한 |관측 비율 − P(D)|의 평균

• 0이 아닌 첫 자리 숫자를 씁니다. 0.0372는 3으로 세고, 0은 뺍니다.
• 값이 약 110개보다 적으면 일부 기대 개수가 5 미만이 되어 p값이 대략적이라는 안내가 나옵니다.

원리

송장 금액, 인구, 강 길이처럼 여러 자릿수에 걸쳐 퍼진 많은 자료에서 첫 자리 숫자는 고르지 않습니다. 1이 약 30.1%, 2가 약 17.6%이고, 9는 약 4.6%에 불과합니다. 직관적인 이유 하나는, 첫 자리가 1에서 2가 되려면 수가 두 배가 되어야 하지만 9에서 10이 되는 것은 약 11% 증가면 된다는 점입니다. 그래서 비율로 늘어나는 값은 작은 첫 자리 숫자에 더 오래 머뭅니다. 전화번호처럼 사람이 정한 값, 상한이 있거나 성인 키처럼 좁은 범위에 몰린 자료는 이 법칙을 따르지 않습니다.

예제 풀이

기본값: 표본 금액 40개.

1. 첫 자리 개수: 1 → 19, 2 → 7, 3 → 3, 4 → 3, 5 → 1, 6 → 2, 7 → 2, 8 → 1, 9 → 2(값 40개)입니다.
2. 첫 자리가 1인 비율 = 19 ÷ 40 = 47.5%로 기대값 30.1%보다 높고, 가장 흔한 숫자는 1입니다.
3. 아홉 숫자에 대한 χ² = 7.268, 자유도 8입니다.
4. p값 = 0.5081이므로 유의한 차이 없음(p ≥ 0.05)입니다.
5. MAD = 3.96퍼센트포인트이며, 표본이 작아 p값은 대략적인 값으로 보십시오.

결과 해석

p값이 크면 자료가 벤포드 법칙과 어긋나지 않는다는 뜻이고, 0.05보다 작으면 우연으로 보기 어려울 만큼 다르다는 뜻입니다. 자료가 아주 많으면 사소하고 무해한 차이도 '유의'하게 나오므로 MAD를 함께 봅니다. 차이가 있다는 것은 더 살펴볼 이유일 뿐 부정의 증거가 아닙니다. 반올림, 가격대 설정, 최소 금액, 자료의 성격 때문에도 정당하게 어긋날 수 있습니다.

흔한 실수

• 고유번호나 백분율처럼 벤포드 법칙을 따르지 않는 자료를 검정하는 경우
• 아주 작은 표본으로 결론을 내리는 경우
• 유의한 결과를 조작의 증거로 보는 경우
• 0이나 문자 코드를 자료에 섞는 경우

자주 묻는 질문

벤포드 법칙이란?

많은 자연 자료에서 첫 자리 숫자 d가 log₁₀(1 + 1/d)의 확률로 나타나, 1이 가장 흔하다는 법칙입니다.

자료는 몇 개가 필요한가요?

많을수록 좋습니다. 약 110개보다 적으면 기대 개수가 5 미만인 칸이 생겨 카이제곱 검정이 근사적입니다.

모든 자료가 벤포드 법칙을 따르나요?

아닙니다. 여러 자릿수에 걸쳐 퍼져 있고 사람이 정하지 않은 자료여야 합니다.

출처: E. W. Weisstein, "Benford's Law", Wolfram MathWorld · F. Benford (1938), "The law of anomalous numbers", Proceedings of the American Philosophical Society 78(4)