홍라이프 계산기베르트랑 상자 역설 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 베르트랑의 상자 퍼즐을 풀어 봅니다. 상자에는 금화 두 개, 은화 두 개, 또는 하나씩이 들어 있고, 상자 하나를 무작위로 골라 동전 하나를 꺼내 색을 봅니다. 상자에 남은 동전이 같은 색일 확률은 얼마일까요? 상자 종류별 개수를 바꿔 가며 답이 어떻게 달라지는지 볼 수 있습니다.
계산 방법
금금 상자 G개, 섞인 상자 M개, 은은 상자 S개에서 금화를 꺼냈을 때:
P(남은 동전도 금화) = 2G ÷ (2G + M)
P(섞인 상자를 골랐을 확률) = M ÷ (2G + M)
순진한 답(상자 세기) = G ÷ (G + M)
처음에 금화를 꺼낼 확률 = (2G + M) ÷ (2 × (G + M + S))
- 은화를 꺼냈다면 G와 S를 바꿉니다.
원리
흔히 떠오르는 답은 1/2입니다. 금화를 봤으니 금금 상자와 섞인 상자만 남았다는 생각입니다. 하지만 상자를 고르고 종류를 알게 된 것이 아니라 동전을 꺼낸 것입니다. 모든 동전은 꺼내질 확률이 같고, 금화 세 개 중 두 개가 금금 상자에 있습니다. 그래서 본 금화가 그 상자에서 나왔을 가능성이 두 배입니다. 이것이 베이즈 정리입니다. 금금 상자는 확률 1로, 섞인 상자는 ½로 금화를 내므로, 증거가 가능성을 2 : 1로 바꿉니다.
예제 풀이
기본값: 금금 1개, 섞인 1개, 은은 1개, 금화를 꺼냄.
- 모든 상자의 금화 수 = 2 × 1 + 1 = 3개입니다.
- 남은 동전도 금화일 확률 = 2 ÷ 3 = 66.67%입니다.
- 섞인 상자를 골랐을 확률 = 1 ÷ 3 = 33.33%입니다.
- 상자를 세는 순진한 답 = 1 ÷ (1 + 1) = 50%입니다.
- 처음에 금화를 꺼낼 확률 = 3 ÷ 6 = 50%입니다.
결과 해석
참 답과 순진한 답의 차이는 꺼낸 동전이 얼마나 많은 정보를 주는지 보여 줍니다. 섞인 상자를 늘리면 참 답이 순진한 답 쪽으로 내려가고, 금금 상자를 늘리면 둘 다 올라갑니다. 같은 추론이 의료 검사 결과 해석, 몬티 홀 문제처럼 어떤 증거가 한 설명에서 더 잘 나타나는 모든 상황에 쓰입니다.
흔한 실수
- 남은 동전이 아니라 남은 상자를 세는 경우
- 금화를 꺼낸 뒤에도 은은 상자가 영향을 준다고 보는 경우(이미 제외됩니다)
- 금화를 본 것이 새 정보가 아니라고 생각하는 경우
- 처음에 금화를 꺼낼 확률을 조건부 답과 혼동하는 경우
자주 묻는 질문
왜 1/2이 아니라 2/3인가요?
똑같이 나올 수 있는 금화 세 개 중 두 개가 금금 상자에 있기 때문입니다.
이 퍼즐은 누가 냈나요?
조제프 베르트랑이 1889년 책 『확률 계산(Calcul des probabilités)』에서 제시했습니다.
몬티 홀 문제와 같은 건가요?
관련이 있습니다. 둘 다 증거를 본 뒤 같은 확률의 경우를 세거나 베이즈 정리로 풉니다.
출처: J. Bertrand (1889), Calcul des probabilités, Gauthier-Villars · Bayes' rule, standard probability theory