홍라이프 계산기베르트랑 역설 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 베르트랑의 역설을 보여 줍니다. 원의 '무작위' 현이 어떤 길이보다 길 확률은 현을 고르는 방법에 따라 달라집니다. 내접 정삼각형의 한 변이나 직접 넣은 길이에 대해 고전적인 세 가지 방법의 답을 구하고, 방법별 평균 현의 길이도 보여 줍니다.
계산 방법
c = L ÷ (2r)이라 하면(L은 넘어야 할 현의 길이, r은 반지름):
- 원 위의 두 끝점을 무작위로: P = 1 − (2/π) arcsin c
- 무작위 반지름 위의 무작위 점(현의 중점): P = √(1 − c²)
- 원판 안 아무 곳의 무작위 중점: P = 1 − c²
평균 현의 길이는 4r/π(끝점), πr/2(반지름), 4r/3(중점)입니다.
- 기본 L은 내접 정삼각형의 한 변 r√3입니다.
원리
현은 중점으로, 또는 두 끝점으로 정해집니다. '현을 무작위로 고른다'는 말은 분명해 보이지만 자연스러운 방법이 여럿 있고, 방법마다 확률을 다르게 나눕니다. 두 끝점을 고르게 고르면 중심각이 고르게 퍼집니다. 반지름 위의 점을 고르게 고르면 중점과 중심 사이 거리가 고르게 퍼집니다. 원판 안의 점을 고르게 고르면 넓이가 넓은 바깥쪽 중점이 더 자주 뽑혀 짧은 현이 많아집니다. 세 방법 모두 타당하며 서로 다른 질문에 답할 뿐입니다. 교훈은 표본추출 방법을 밝히기 전에는 '무작위'라는 말이 아무 뜻도 없다는 것입니다.
예제 풀이
기본값: r = 1, 내접 정삼각형의 한 변보다 긴 현.
- 기준 길이 L = 1 × √3 = 1.73205이므로 c = √3 ÷ 2 = 0.866입니다.
- 무작위 끝점: arcsin 0.866 = π/3이므로 P = 1 − (2/π)(π/3) = 33.33%입니다.
- 무작위 반지름: P = √(1 − 0.75) = 50%입니다.
- 무작위 중점: P = 1 − 0.75 = 25%입니다.
- 평균 현의 길이: 4/π = 1.27324, π/2 = 1.5708, 4/3 = 1.33333입니다.
결과 해석
1/3, 1/2, 1/4는 각자의 방법에서 모두 맞는 답입니다. 실제 현상을 모형으로 만든다면 그 현상에 맞는 방법을 고르십시오. 예를 들어 바닥에 그린 원 위로 빨대를 무작위로 떨어뜨리는 경우는 무작위 반지름 방법처럼 행동하며, 이 방법은 원을 옮기거나 크기를 바꿔도 답이 변하지 않는 성질을 가집니다.
흔한 실수
- '무작위'에 당연한 뜻이 하나 있다고 여기는 경우
- 손계산에서 arcsin을 도 단위로 쓰는 경우
- 지름보다 긴 현의 길이를 넣는 경우
- 세 답 중 하나가 모든 상황의 정답이라고 생각하는 경우
자주 묻는 질문
베르트랑의 역설이란?
무작위 현을 고르는 타당한 세 방법이 1/3, 1/2, 1/4이라는 서로 다른 확률을 주는 문제입니다.
어느 답이 맞나요?
각각 자기 방법에서 맞습니다. 방법을 정하기 전에는 문제가 완전히 정해지지 않은 것입니다.
단위원의 평균 현 길이는?
방법에 따라 4/π, π/2, 4/3입니다.
출처: Encyclopedia of Mathematics, "Bertrand paradox" · J. Bertrand (1889), Calcul des probabilités, Gauthier-Villars