홍라이프 계산기베타분포 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 베타분포의 누적확률, 확률밀도, 요약 통계량을 구합니다. 베타분포는 비율, 성공률, 확률처럼 0과 1 사이의 값을 나타내는 대표적인 모형입니다. 베이즈 통계, 일정 추정(PERT), 신뢰성 분석에 쓸 수 있습니다.
계산 방법
확률밀도 f(x) = x^(α−1) (1 − x)^(β−1) ÷ B(α, β), 0 ≤ x ≤ 1
B(α, β) = Γ(α) Γ(β) ÷ Γ(α + β)
P(X ≤ x) = Iₓ(α, β), 정규화된 불완전 베타함수
평균 = α ÷ (α + β), 분산 = αβ ÷ [(α + β)² (α + β + 1)]
최빈값 = (α − 1) ÷ (α + β − 2) (α, β > 1일 때)
왜도 = 2(β − α) √(α + β + 1) ÷ [(α + β + 2) √(αβ)]
- 중앙값은 닫힌 식이 없어 Iₓ(α, β) = 0.5를 수치적으로 풀어 구합니다.
원리
두 모양 모수는 성공과 실패의 횟수처럼 작용합니다. α는 확률 질량을 1 쪽으로, β는 0 쪽으로 끌어당깁니다. 베이즈 갱신에서 베타 사전분포에 이항 자료를 결합하면, α에는 성공 수, β에는 실패 수를 더한 베타분포가 다시 나옵니다. α = β = 1은 균등분포, α = β > 1은 0.5를 중심으로 대칭이며, α + β가 클수록 자료가 많아진 것처럼 분포가 좁아집니다.
예제 풀이
기본값: α = 2, β = 5, x = 0.3.
- B(2, 5) = 1! × 4! ÷ 6! = 1/30이므로 f(0.3) = 30 × 0.3 × 0.7⁴ = 2.1609입니다.
- 모수가 정수이면 P(X ≤ 0.3)은 p = 0.3인 6회 시행에서 성공이 2회 이상일 확률과 같아, 1 − 0.7⁶ − 6 × 0.3 × 0.7⁵ = 0.579825이고, P(X > 0.3) = 0.420175입니다.
- 평균 = 2 ÷ 7 = 0.285714, 최빈값 = 1 ÷ 5 = 0.2, 중앙값 = 0.26445입니다.
- 분산 = 10 ÷ (49 × 8) = 0.0255102, 표준편차 = 0.159719입니다.
- 왜도 = 2 × 3 × √8 ÷ (9 × √10) = 0.596285입니다.
| x (0과 1 사이) | P(X ≤ x) |
|---|---|
| 0.075 | 0.0688678 |
| 0.15 | 0.223516 |
| 0.225 | 0.405889 |
| 0.3 | 0.579825 |
| 0.375 | 0.725819 |
| 0.45 | 0.836433 |
| 0.6 | 0.95904 |
결과 해석
이 분포는 오른쪽으로 꼬리가 긴 모양입니다. 질량이 0.2~0.3 근처에 몰려 있고 큰 값 쪽으로 꼬리가 있어 최빈값 < 중앙값 < 평균입니다. 짧은 구간 위의 연속분포에서는 밀도가 1보다 큰 것이 정상이며, 곡선 아래 넓이만 1이면 됩니다.
흔한 실수
- 밀도 값을 확률로 읽는 경우
- α와 β를 바꿔 넣어 분포가 0.5를 기준으로 뒤집히는 경우
- α나 β가 1 이하인데 최빈값을 기대하는 경우(그때는 끝점에서 최대입니다)
- 0~1 밖의 x를 넣는 경우
자주 묻는 질문
베타분포는 어디에 쓰이나요?
비율과 확률을 모형화할 때, 특히 베이즈 통계의 사전분포로 많이 쓰입니다.
Beta(1, 1)은 어떤 모양인가요?
0부터 1까지의 균등분포입니다.
베타 사전분포는 어떻게 갱신하나요?
α에 성공 횟수를, β에 실패 횟수를 더합니다.
출처: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, §1.3.6.6.17 Beta Distribution