홍라이프 계산기쌍선형 보간 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 직사각형 네 모서리의 값으로 그 안쪽 점의 값을 추정합니다. 이원표의 행과 열 사이를 읽어 내는 것과 같습니다. s와 t 비율, 두 변에서의 값, 각 모서리의 가중치를 보여 줍니다. 공학에서 증기표나 설계 도표를 읽을 때 쓰이며, 이미지를 부드럽게 확대·축소하는 원리이기도 합니다.
계산 방법
s = (x − x₁) ÷ (x₂ − x₁), t = (y − y₁) ÷ (y₂ − y₁)
아래 변에서 x 방향: R₁ = (1 − s) f₁₁ + s f₂₁
위 변에서 x 방향: R₂ = (1 − s) f₁₂ + s f₂₂
결과: f = (1 − t) R₁ + t R₂
한 식으로 쓰면: f = (1 − s)(1 − t) f₁₁ + s(1 − t) f₂₁ + (1 − s)t f₁₂ + st f₂₂
- s나 t가 0~1 밖이면 점이 칸 밖에 있는 것이고, 결과는 외삽입니다.
원리
쌍선형 보간은 선형 보간을 두 번 하는 것입니다. 먼저 아래 변과 위 변에서 x 방향으로, 다음에 두 결과 사이에서 y 방향으로 보간합니다. y를 먼저 하고 x를 나중에 해도 같은 답이 나옵니다. 각 모서리의 가중치는 대각선 반대편 작은 직사각형의 넓이와 같아서, 점에 가까운 모서리일수록 가중치가 크고 네 가중치의 합은 1입니다. 이렇게 만든 면은 가로·세로 방향으로는 직선이지만 대각선 방향으로는 살짝 휠 수 있습니다.
예제 풀이
기본값: x₁ = 0, x₂ = 10, y₁ = 0, y₂ = 20, 모서리 값 아래 12, 16, 위 20, 30, 점 (4, 15).
- s = (4 − 0) ÷ 10 = 0.4, t = (15 − 0) ÷ 20 = 0.75입니다.
- R₁ = 0.6 × 12 + 0.4 × 16 = 7.2 + 6.4 = 13.6입니다.
- R₂ = 0.6 × 20 + 0.4 × 30 = 12 + 12 = 24입니다.
- f = 0.25 × 13.6 + 0.75 × 24 = 3.4 + 18 = 21.4입니다.
- 모서리 가중치는 0.15, 0.1, 0.45, 0.3이며, 점이 칸 안에 있어 보간입니다.
| y₂ (위) | 보간한 값 f(x, y) |
|---|---|
| 5 | 44.8 |
| 10 | 29.2 |
| 15 | 24 |
| 20 | 21.4 |
| 25 | 19.84 |
| 30 | 18.8 |
| 40 | 17.5 |
결과 해석
실제 값이 매끄럽게 변하고 격자가 촘촘할수록 추정이 정확합니다. 표의 값이 격자선 사이에서 크게 휘면 오차가 커지므로, 더 촘촘한 표나 고차 보간법이 낫습니다. 칸 밖으로 외삽한 값은 매우 조심해서 다루십시오. 증기표처럼 공학 자료를 읽을 때는 보간 결과를 표의 이웃 값과 비교해 크기가 그럴듯한지 한 번 더 확인하는 습관이 도움이 됩니다.
흔한 실수
- 모서리 값과 (x, y) 짝을 잘못 맞추는 경우
- 표와 계산기의 x, y를 서로 바꿔 넣는 경우
- 표 범위를 크게 벗어나 쓰는 경우
- 증기표의 상변화 구간처럼 값이 갑자기 바뀌는 곳에서 보간하는 경우
자주 묻는 질문
쌍선형 보간은 어디에 쓰이나요?
이원표 읽기, 이미지 크기 조정, 지도와 격자 위의 값 추정에 쓰입니다.
보간 순서가 결과에 영향을 주나요?
아닙니다. x 다음 y로 하든, y 다음 x로 하든 같습니다.
쌍선형 보간은 선형인가요?
각 축 방향으로는 선형이지만 xy 항이 있어 평평한 평면은 아닙니다.
출처: E. W. Weisstein, "Bilinear Interpolation", Wolfram MathWorld · W. H. Press et al., Numerical Recipes, 3rd ed. (2007), §3.6