홍라이프 계산기이항분포 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이항분포는 성공 확률이 p로 일정한 독립 시행을 n번 할 때 성공이 정확히 k번 나올 확률을 나타냅니다. 동전 10번 중 앞면의 수, 한 묶음 제품 속 불량품 수, 치료에 반응한 환자 수, 정해진 횟수의 자유투 성공 수 등이 대표적인 예입니다. 계산기는 P(X = k), 누적확률 P(X ≤ k)와 P(X ≥ k), 평균과 표준편차를 보여 줍니다.
계산 방법
- P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ이며, C(n, k) = n! ÷ (k!(n − k)!)은 n번 중 성공할 k번을 고르는 경우의 수입니다.
- P(X ≤ k) = P(X = 0) + P(X = 1) + … + P(X = k)
- P(X ≥ k) = 1 − P(X ≤ k) + P(X = k)로, k 자신을 포함합니다.
- 평균 = np, 표준편차 = √(np(1 − p))
n이 커도 넘침이 생기지 않도록 계승의 로그로 계산합니다.
원리
성공 k번, 실패 n − k번으로 이루어진 특정한 순서 하나(예: 성성실실실…)의 확률은 시행이 독립이므로 pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ입니다. 성공이 어느 자리에 오든 확률은 같고 그런 배열이 C(n, k)가지이므로 모두 더하면 C(n, k)pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ가 됩니다. 전제 조건은 시행 횟수 고정, 결과가 두 가지, 일정한 p, 독립성입니다.
예제 풀이
- 기본 입력: n = 10, p = 0.5, k = 3
- C(10, 3) = 120이고 0.5³ × 0.5⁷ = 1/1024입니다.
- P(X = 3) = 120/1024 = 0.1171875
- P(X ≤ 3) = (1 + 10 + 45 + 120)/1024 = 176/1024 = 0.171875
- P(X ≥ 3) = 1 − (1 + 10 + 45)/1024 = 968/1024 = 0.9453125
- 평균 = 10 × 0.5 = 5, 표준편차 = √2.5 ≈ 1.58113883
| 시행 횟수 n | P(X = k) |
|---|---|
| 2.5 | 0.0552427173 |
| 5 | 0.3125 |
| 7.5 | 0.2468658928 |
| 10 | 0.1171875 |
| 12.5 | 0.0434281127 |
| 15 | 0.0138854981 |
| 20 | 0.0010871887 |
결과 해석
대부분의 결과는 평균에서 표준편차의 약 2배 안쪽, 이 예에서는 대략 2~8회 사이에 놓입니다. P(X ≤ k)가 매우 작다면(예: 0.05 미만) p가 정말 그 값일 때 그렇게 적은 성공은 드물다는 뜻이며 이것이 단측 이항검정의 아이디어입니다. np와 n(1 − p)가 모두 10 정도 이상이면 정규분포로 근사해도 잘 맞습니다.
흔한 실수
- "이하(≤)"와 "미만(<)"을 혼동하는 경우. P(X < 3) = P(X ≤ 2)입니다.
- 적은 수의 대상에서 비복원으로 뽑는 상황에 이항분포를 쓰는 경우(초기하분포가 맞습니다)
- 시행마다 p가 달라지는데도 이항분포를 적용하는 경우
자주 묻는 질문
"적어도 한 번 성공할 확률"은 어떻게 구하나요?
P(X ≥ 1) = 1 − (1 − p)ⁿ입니다.
n이 크고 p가 작으면 어떻게 되나요?
λ = np인 푸아송분포에 가까워집니다.
이항분포는 좌우 대칭인가요?
p = 0.5일 때만 대칭입니다. p < 0.5이면 오른쪽으로, p > 0.5이면 왼쪽으로 꼬리가 깁니다.
출처: Sheldon M. Ross, A First Course in Probability, Pearson · NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Binomial Distribution