이항 전개 계산기 ((a x + b)ⁿ)

이항정리 전개 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

이 계산기는 (ax + b)ⁿ을 x에 대한 다항식으로 전개해 xⁿ 항부터 상수항까지 모든 항을 보여 줍니다. 괄호를 n번 직접 곱하는 수고를 덜어 주며, 이항분포 같은 확률 계산이나 (1 + x)ⁿ ≈ 1 + nx 같은 근사, 계수 확인에 유용합니다. 지수 n은 0부터 30까지의 정수를 입력합니다.

계산 방법

이항정리에 따라 (ax + b)ⁿ = Σ C(n, k) · aⁿ⁻ᵏ · bᵏ · xⁿ⁻ᵏ (k = 0, 1, …, n)입니다.

• C(n, k) = n! ÷ (k!(n − k)!)은 이항계수로, n개 중 k개를 고르는 경우의 수입니다.
• a는 x의 계수, b는 상수항, n은 지수입니다.
• k번째 항은 n − k개의 괄호에서 ax를, 나머지 k개의 괄호에서 b를 고른 결과입니다.

원리

(ax + b)ⁿ은 같은 괄호 n개를 곱한 것입니다. 전개한 각 항은 괄호마다 ax와 b 중 하나를 골라 곱해서 만들어집니다. 정확히 k개의 괄호에서 b를 고르면 aⁿ⁻ᵏ bᵏ xⁿ⁻ᵏ이 되고, 어느 k개의 괄호를 고를지는 C(n, k)가지입니다. 이 모든 경우를 더한 것이 이항정리이며, 이항계수 C(n, k)는 파스칼의 삼각형 n번째 행의 수와 같습니다.

예제 풀이

1. 기본 입력값은 a = 2, b = 3, n = 4로 (2x + 3)⁴을 전개합니다.
2. k = 0: 1 · 2⁴ · 3⁰ = 16이므로 16x^4입니다.
3. k = 1: 4 · 2³ · 3 = 96이므로 96x^3입니다.
4. k = 2: 6 · 2² · 3² = 216이므로 216x^2입니다.
5. k = 3: 4 · 2 · 3³ = 216이므로 216x입니다.
6. k = 4: 1 · 3⁴ = 81이 상수항입니다.
7. 결과는 16x^4 + 96x^3 + 216x^2 + 216x + 81입니다.

결과 해석

항은 x의 차수가 높은 것부터 상수항 순으로 나열됩니다. 검산은 x = 1을 대입하면 됩니다. 계수의 합이 (a + b)ⁿ과 같아야 하며, 여기서는 16 + 96 + 216 + 216 + 81 = 625 = 5⁴입니다. b가 음수이면 부호가 번갈아 나타나고 "−"로 표시됩니다. n이 크면 계수가 매우 빠르게 커져 반올림되거나 지수 형식으로 표시될 수 있습니다.

흔한 실수

• a의 거듭제곱을 빠뜨리는 실수입니다. (2x + 3)⁴의 첫 항은 2x⁴가 아니라 16x⁴입니다.
• 이항계수를 빼고 aⁿ⁻ᵏ bᵏ만 쓰는 경우입니다.
• b가 음수일 때 부호를 놓치는 실수입니다. (x − 2)³ = x³ − 6x² + 12x − 8입니다.
• 항의 개수를 n + 1개가 아니라 n개로 세는 실수입니다.

자주 묻는 질문

특정한 항, 예를 들어 x² 항만 구하려면요?

n − k = 2가 되는 k를 고릅니다. (2x + 3)⁴에서는 k = 2이고 6 · 4 · 9 = 216입니다.

이항정리와 확률은 어떤 관계인가요?

이항분포에서 n번 시행 중 k번 성공할 확률 C(n, k)pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ은 (p + (1 − p))ⁿ = 1을 전개한 한 항입니다.

(a + b + c)ⁿ은 어떻게 전개하나요?

다항정리를 쓰며, 계수는 n! ÷ (i! j! k!)입니다.

출처: NIST Digital Library of Mathematical Functions, §26.3 (dlmf.nist.gov) · Graham, R. L., Knuth, D. E., Patashnik, O., Concrete Mathematics, Chapter 5