홍라이프 계산기상자법 다항식 곱셈 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 상자법(직사각형 모델, 넓이 모델)으로 두 다항식을 곱합니다. 부분곱의 격자를 그리고, 대각선을 따라 동류항을 모은 뒤, 정리된 곱을 보여 줍니다. 다항식의 곱셈을 배우거나 답을 확인할 때 쓸 수 있습니다.
계산 방법
- 첫째 다항식의 항을 왼쪽(행)에, 둘째 다항식의 항을 위쪽(열)에 적습니다.
- 각 칸 = 행의 항 × 열의 항입니다. 계수는 곱하고 지수는 더합니다.
- 차수가 같은 칸은 같은 대각선에 놓이므로 그 항들을 더합니다.
- 결과를 차수가 높은 항부터 적습니다.
- 이항식 × 이항식은 2 × 2 상자(FOIL과 같은 네 곱), 이항식 × 삼항식은 2 × 3 상자입니다.
원리
상자는 분배법칙의 넓이 모델입니다. 변의 길이가 (a + b)와 (c + d + e)인 직사각형의 넓이는 작은 직사각형 a·c, a·d, …, b·e의 합입니다. 한 다항식의 모든 항이 다른 다항식의 모든 항과 정확히 한 번씩 만나므로 빠뜨리거나 두 번 세는 일이 없습니다. xᵐ × xⁿ = xᵐ⁺ⁿ이므로 지수는 더합니다. 열을 내림차순으로 놓으면 동류항이 대각선에 모여 정리하기 쉽습니다.
예제 풀이
기본값: (2x + 3)(x² − 4x + 5).
- 상자 크기 2 × 3, 칸 6개이고, 열 머리는 x² │ −4x │ 5입니다.
- 2x 행: 2x³ │ −8x² │ 10x입니다.
- 3 행: 3x² │ −12x │ 15입니다.
- 대각선 정리: 2x³, −8x² + 3x² = −5x², 10x − 12x = −2x, 15입니다.
- 곱은 2x³ − 5x² − 2x + 15입니다.
결과 해석
곱의 차수는 두 차수의 합으로 여기서는 1 + 2 = 3이며, 칸의 수는 두 다항식 항 수의 곱입니다. 빠른 검산으로 양쪽에 x = 1을 넣어 보십시오. (2 + 3)(1 − 4 + 5) = 5 × 2 = 10이고, 2 − 5 − 2 + 15 = 10으로 같습니다. 한 번 더 확인하고 싶다면 x = 2도 넣어 보면 됩니다. (4 + 3)(4 − 8 + 5) = 7이고, 16 − 20 − 4 + 15 = 7입니다.
흔한 실수
- 지수를 더하지 않고 곱하는 경우
- 항을 머리 칸에 옮기며 음수 부호를 빠뜨리는 경우
- 동류항이 아닌 칸끼리 합치는 경우
- 빠진 차수가 있는 다항식에서 칸을 빼먹는 경우
자주 묻는 질문
상자법이란?
각 칸에 두 다항식에서 하나씩 고른 항의 곱을 적는 격자 방식의 다항식 곱셈입니다.
FOIL과 같은 방법인가요?
이항식 두 개에서는 같은 네 곱을 주며, 항이 더 많은 다항식에도 쓸 수 있습니다.
다항식의 곱은 어떻게 검산하나요?
x = 1이나 x = 2 같은 간단한 값을 인수와 곱 양쪽에 넣어 비교합니다.
삼항식끼리 곱해도 되나요?
됩니다. 3 × 3 상자 9칸을 채운 뒤 대각선별로 동류항을 모으면 됩니다.
출처: OpenStax, Elementary Algebra 2e (2020), §6.3 Multiply Polynomials · OpenStax, Algebra 1 (2025), area model for polynomials