아들 딸 역설 계산기 (두 아이 문제: 1/3, 1/2, 13/27?)

아들딸 역설 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

이 계산기는 두 아이 문제를 풀어 봅니다. 아이가 둘인 가정에 대해 어떤 정보를 알게 되었을 때 둘 다 아들일 확률은 얼마일까요? 무엇을 알게 되었는지에 따라 답은 1/3, 1/2, 그리고 '화요일에 태어난' 같은 세부 정보가 붙으면 13/27이 됩니다. 아들이 태어날 확률과 세부 정보의 드문 정도도 바꿔 볼 수 있습니다.

계산 방법

b = 아들일 확률, t = 1/N = 세부 정보에 해당할 확률이라 하면:

• 적어도 한 명이 아들: P(둘 다 아들) = b ÷ (b + 2(1 − b)), b = ½이면 1/3
• 첫째가 아들: P(둘 다 아들) = b, b = ½이면 1/2
• 세부 정보가 있는 아들이 적어도 한 명: P = b²(1 − (1 − t)²) ÷ [b²(1 − (1 − t)²) + 2b(1 − b)t], b = ½, N = 7이면 13/27
• 아들 하나 딸 하나일 확률과, 다른 한 아이만 생각한 직감적 답(b)도 보여 줍니다.

원리

두 아이를 첫째부터 적으면, 확률이 같을 때 아들아들, 아들딸, 딸아들, 딸딸의 네 가정이 똑같이 가능합니다. '적어도 한 명이 아들'은 딸딸만 제외하므로 세 경우가 남고, 그중 아들아들은 하나라 답이 1/3입니다. '첫째가 아들'이면 아들아들과 아들딸이 남아 1/2입니다. 구체적인 세부 정보가 중요한 이유는, 아들 둘인 가정은 그 정보에 해당하는 아들을 가질 기회가 두 번이어서 답이 다시 1/2 쪽으로 가기 때문입니다. 이 모든 것은 '적어도 한 명이 아들인가?'라고 물어서 알았다고 가정한 것이며, 아이 하나를 우연히 만나 아들인 것을 봤다면 답은 1/2입니다.

예제 풀이

기본값: 적어도 한 명이 아들, 아들일 확률 50%, 세부 정보 7분의 1(이 선택지에서는 쓰지 않음).

1. 가능한 가정은 아들아들, 아들딸, 딸아들, 딸딸이며, 딸딸이 제외됩니다.
2. P(둘 다 아들) = 0.5 ÷ (0.5 + 2 × 0.5) = 0.5 ÷ 1.5 = 33.33%, 분수로 1/3입니다.
3. 아들 하나 딸 하나일 확률은 남은 세 경우 중 둘이므로 66.67%입니다.
4. 다른 한 아이만 생각한 직감적 답은 50%입니다.

결과 해석

1/3과 1/2의 차이는 생물학이 아니라 정보의 문제입니다. 질문을 정확히 어떻게 했는지, 어떻게 알게 되었는지에 따라 아직 가능한 가정이 달라집니다. 세부 정보 선택지에서 N = 7로 13/27을 확인하고, N을 크게 해 아주 드문 정보로 바꾸면 답이 1/2에 가까워지는 것도 볼 수 있습니다.

흔한 실수

• '적어도 한 명이 아들'을 '이 아이가 아들'로 받아들이는 경우
• 정보를 어떻게 얻었는지를 무시하는 경우
• 태어난 요일은 상관없다고 생각하는 경우
• 실제 출생 성비가 절반보다 약간 높은데도 50%만 쓰는 경우

자주 묻는 질문

왜 1/2이 아니라 1/3인가요?

'적어도 한 명이 아들'이면 똑같이 가능한 세 가정(아들아들, 아들딸, 딸아들)이 남고, 그중 아들 둘은 하나뿐이기 때문입니다.

화요일 생일이 어떻게 답을 바꾸나요?

아들 둘인 가정은 화요일생 아들이 있을 기회가 두 번이라 상대적으로 더 그럴듯해져 13/27이 됩니다.

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마틴 가드너가 수학 퍼즐 글에서 널리 알렸습니다.

출처: P. Norvig, "ProbabilityParadox" notebook (pytudes)