홍라이프 계산기현수선 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 같은 높이의 두 지지점 사이에 걸린 케이블의 모양과 길이를 경간과 가운데 처짐으로 구합니다. 현수선 매개변수, 케이블 길이, 직선 경간보다 늘어난 길이, 지지점에서의 기울기를 보여 줍니다. 빨랫줄, 울타리 철선, 줄 조명, 사슬의 길이를 구하거나 미적분 예제로 쓸 수 있습니다.
계산 방법
모양(가장 낮은 점이 원점): y = a (cosh(x/a) − 1)
경간 가운데 처짐: h = a (cosh(L/2a) − 1)을 수치적으로 풀어 a를 구함
케이블 길이: s = 2a sinh(L/2a)
지지점의 기울기: arctan(sinh(L/2a))
- L은 지지점 사이 경간, h는 처짐이며 단위는 m입니다.
- 처짐비 = h ÷ L입니다.
원리
단위 길이당 무게가 일정한 유연한 케이블은 자기 방향으로만 장력을 전달할 수 있습니다. 모든 점에서 장력의 수평 성분은 같고, 수직 성분은 그 점 아래에 매달린 케이블의 무게만큼 커집니다. 이 균형에서 나온 미분방정식의 해가 쌍곡코사인, 즉 현수선입니다. 매개변수 a는 수평 장력을 미터당 무게로 나눈 값입니다. a가 크면 팽팽하고 얕게, 작으면 깊게 처집니다. 길이는 곡선의 호 길이 적분으로 구합니다.
예제 풀이
기본값: 경간 100m, 처짐 10m.
- 10 = a (cosh(50/a) − 1)을 풀면 a = 126.632m입니다.
- 케이블 길이 = 2 × 126.632 × sinh(50 ÷ 126.632) = 102.619m입니다.
- 경간보다 늘어난 길이 = 102.619 − 100 = 2.619m입니다.
- 지지점 기울기 = arctan(sinh(0.39484)) = 22.057°입니다.
- 처짐비 = 10 ÷ 100 = 0.1입니다.
| 두 지지점 사이 경간 (m) | 케이블 길이 (m) |
|---|---|
| 25 | 33.6047 |
| 50 | 54.9859 |
| 75 | 78.4449 |
| 100 | 102.619 |
| 125 | 127.108 |
| 150 | 151.763 |
| 200 | 201.327 |
결과 해석
케이블이 조금만 길어도 처짐이 크게 생깁니다. 이 예에서는 2.6%만 길어도 10m가 처집니다. 거꾸로 케이블을 거의 일직선으로 당기려면 a와 함께 수평 장력이 커져 매우 큰 힘이 필요합니다. 지지점의 기울기는 각 고정점을 당기는 방향을 알려 줍니다. 빨랫줄이나 줄 조명을 걸 때 너무 팽팽하게 당기지 않는 것이 고정점에 무리를 덜 주는 이유이기도 합니다.
흔한 실수
- 처짐이 큰데 포물선 근사를 쓰는 경우(얕은 케이블에서만 잘 맞습니다)
- 지지점 높이가 다를 때 처짐의 기준을 잘못 잡는 경우
- 케이블 늘어남과 온도 변화를 무시하는 경우
- 처짐을 지지점에서 땅까지의 높이와 혼동하는 경우
자주 묻는 질문
현수선이란?
균일하고 유연한 사슬이나 케이블이 자기 무게로 늘어질 때 생기는 곡선 y = a cosh(x/a)입니다.
늘어진 사슬은 포물선인가요?
아닙니다. 다만 처짐이 작으면 두 곡선이 매우 비슷합니다.
원하는 처짐에 필요한 줄 길이는?
경간과 처짐을 넣으면 케이블 길이 항목에서 알 수 있습니다.
출처: OpenStax, Calculus Volume 1 (2016), §6.9 Calculus of the Hyperbolic Functions