홍라이프 계산기중심극한정리 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 표본평균에 중심극한정리를 적용합니다. 모평균, 모표준편차, 표본 크기로 표준오차와, 표본평균이 두 값 사이에 들어갈 확률, 아래 값보다 작을 확률, 위 값보다 클 확률을 구합니다. 표본 합계의 평균과 표준편차도 보여 줍니다.
계산 방법
표준오차 = σ ÷ √n
z = (x̄ − μ) ÷ (σ ÷ √n)
P(아래 ≤ x̄ ≤ 위) = Φ(z_위) − Φ(z_아래), Φ는 표준정규분포의 누적분포함수
표본 합계: 평균 nμ, 표준편차 √n × σ
- n ≥ 30이면 근사가 대체로 좋다는 것이 흔한 기준이며, 많이 치우친 모집단은 더 커야 합니다.
원리
평균은 하나하나의 값보다 덜 흩어집니다. 큰 값과 작은 값이 서로 상쇄되기 때문입니다. 중심극한정리는 더 나아가, 모집단 모양이 어떻든 n이 커질수록 표본평균의 분포가 μ를 중심으로 하고 퍼짐이 σ ÷ √n인 정규곡선에 가까워진다고 말합니다. 제곱근 때문에 정밀도는 천천히 좋아집니다. 표준오차를 절반으로 줄이려면 표본이 네 배 필요합니다. 모집단 자체가 정규분포면 표본평균은 n에 관계없이 정확히 정규분포입니다.
예제 풀이
기본값: μ = 50, σ = 12, n = 36, 범위 48~53.
- 표준오차 = 12 ÷ √36 = 12 ÷ 6 = 2, 표본평균들의 평균은 50입니다.
- 48의 z = (48 − 50) ÷ 2 = −1, 53의 z = (53 − 50) ÷ 2 = 1.5입니다.
- P(x̄ < 48) = Φ(−1) = 0.1587, P(x̄ > 53) = 1 − Φ(1.5) = 0.06681입니다.
- P(48 ≤ x̄ ≤ 53) = 1 − 0.1587 − 0.0668 = 0.7745입니다.
- 36개 값의 합계는 평균 36 × 50 = 1,800, 표준편차 √36 × 12 = 72이고, 표본 크기는 n ≥ 30입니다.
| 모평균 μ | P(하한 ≤ x̄ ≤ 상한) |
|---|---|
| 12.5 | 0 |
| 25 | 0 |
| 37.5 | 7.605e-8 |
| 50 | 0.7745 |
| 62.5 | 0.000001017 |
| 75 | 1.911e-28 |
| 100 | 2.039e-122 |
결과 해석
이 확률은 개별 값이 아니라 표본마다 표본평균이 어떻게 달라지는지를 나타냅니다. 개별 값은 σ = 12로 흩어지지만 36개의 평균은 2만큼만 흩어집니다. |z|가 약 2를 넘는 먼 꼬리의 x̄가 나온다면, 주어진 μ와 σ가 맞다고 할 때 드문 결과입니다.
흔한 실수
- 표본평균에 σ ÷ √n 대신 σ를 쓰는 경우
- 개별 관측값에 이 정리를 적용하는 경우
- 많이 치우친 모집단에서 아주 작은 표본에 근사를 믿는 경우
- 작은 n에서 표본표준편차를 쓰면서 t분포로 바꾸지 않는 경우
자주 묻는 질문
중심극한정리란?
표본이 충분히 크면 표본평균이 평균 μ, 표준편차 σ ÷ √n인 정규분포에 가까워진다는 정리입니다.
왜 n ≥ 30인가요?
많은 모집단에서 통하는 경험 기준이며, 치우친 모집단은 더 큰 표본이 필요합니다.
표준오차란?
표본평균의 표준편차인 σ ÷ √n입니다.
출처: OpenStax, Introductory Statistics 2e (2023), §7.1 and §7.2 The Central Limit Theorem