홍라이프 계산기무게중심 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 평면 위 점들의 중심을 구하며, 점마다 가중치(질량)를 줄 수도 있습니다. 전체 질량, 두 모멘트, 중심에서 점들까지의 평균 거리도 보여 줍니다. 질량 중심 문제, 하중 균형, 지도 격자 위 위치의 평균, 숙제 확인에 쓸 수 있습니다.
계산 방법
전체 질량 m = Σmᵢ
y축에 대한 모멘트 Mᵧ = Σmᵢxᵢ, x축에 대한 모멘트 Mₓ = Σmᵢyᵢ
중심: x̄ = Mᵧ ÷ m, ȳ = Mₓ ÷ m
- 한 줄에 'x, y' 또는 'x, y, 가중치'를 적으며, 가중치가 없으면 1로 봅니다.
- 가중치가 모두 1이면 중심은 좌표의 평균과 같습니다.
원리
질량 중심은 균형을 이루는 점입니다. 점 질량은 질량 × 축까지의 거리만큼의 회전 효과(모멘트)를 가집니다. 중심은 모든 질량을 한 점에 모아도 두 축에 대한 모멘트가 같아지는 바로 그 점입니다. 가중치가 같으면 좌표의 단순 평균이고, 세 점이면 그 점들이 이루는 삼각형의 무게중심입니다. 하지만 꼭짓점이 넷 이상인 속이 찬 다각형에서는 꼭짓점의 평균이 넓이의 무게중심과 같지 않습니다.
예제 풀이
기본값: 점 (0, 0), (8, 0), (8, 6), (2, 6), 가중치 모두 1.
- 점 4개, 전체 질량 m = 4입니다.
- Mᵧ = 0 + 8 + 8 + 2 = 18, Mₓ = 0 + 0 + 6 + 6 = 12입니다.
- x̄ = 18 ÷ 4 = 4.5, ȳ = 12 ÷ 4 = 3이므로 중심은 (4.5, 3)입니다.
- 중심까지 거리는 5.408, 4.610, 4.610, 3.905이며, 평균은 4.63325입니다.
결과 해석
중심은 점들 사이에 놓이며, 무겁거나 몰려 있는 점 쪽으로 끌려갑니다. 한 점의 가중치를 두 배로 하면 중심이 그 점 쪽으로 일부 이동합니다. 평균 거리는 점들이 중심 주위에 얼마나 퍼져 있는지를 알려 줍니다. 예를 들어 여러 지점에 물건을 배달할 창고 위치를 대략 잡을 때, 배달량을 가중치로 넣으면 출발점으로 삼을 만한 위치를 얻을 수 있습니다.
흔한 실수
- 속이 찬 도형의 무게중심에 이 계산을 쓰는 경우(대부분의 다각형에서 꼭짓점 평균과 넓이 중심은 다릅니다)
- 모멘트를 바꿔 쓰는 경우(Mᵧ는 x를, Mₓ는 y를 씁니다)
- 가중치가 다른데 점의 개수로 나누는 경우
- 점마다 단위를 섞는 경우
자주 묻는 질문
점들의 무게중심은 어떻게 구하나요?
x좌표와 y좌표를 각각 평균하며, 질량이 다르면 질량으로 가중합니다.
삼각형의 무게중심은 세 꼭짓점의 평균인가요?
네, 삼각형에서는 꼭짓점의 평균이 넓이의 무게중심과 같습니다.
여기서 모멘트란?
질량에 축까지의 부호 있는 거리를 곱한 값입니다.
가중치는 어떻게 넣나요?
한 줄에 '3, 4, 2'처럼 세 번째 수로 적습니다. 비우면 1로 계산합니다.
출처: OpenStax, Calculus Volume 2 (2016), §2.6 Moments and Centers of Mass