홍라이프 계산기특성다항식 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 정사각행렬의 특성다항식 p(λ) = det(λI − A)를 구합니다. 그 근이 A의 고윳값입니다. 계수, 부호를 바꾼 꼴 det(A − λI), 대각합(trace), 행렬식도 함께 보여 줍니다. 고윳값을 구하는 첫 단계로 쓰거나 손계산을 확인할 때 쓸 수 있습니다.
계산 방법
p(λ) = det(λI − A), 차수 n인 다항식
det(A − λI) = (−1)ⁿ p(λ)
λⁿ⁻¹의 계수 = −trace(A), 상수항 = (−1)ⁿ det(A)
파데예프-르베리에 점화식: M₁ = I, c_k = −trace(A M_k) ÷ k, M_(k+1) = A M_k + c_k I
- 정수 행렬이면 계수도 정수로 정확히 표시됩니다.
원리
(A − λI)v = 0에 0이 아닌 해 v가 있을 때 λ를 고윳값이라 합니다. 이는 A − λI가 특이행렬일 때, 곧 행렬식이 0일 때와 같습니다. 그 행렬식을 전개하면 λ에 대한 다항식이 나옵니다. 계수는 주소행렬식들의 합으로 이루어지며, λⁿ⁻¹ 항은 대각 성분의 합(대각합), 상수항은 행렬식을 모읍니다. 파데예프-르베리에 방법은 기호 행렬식을 쓰지 않고 행렬 곱과 대각합만으로 모든 계수를 구합니다.
예제 풀이
기본값: A = [2 0 0; 1 2 −1; 1 3 −2].
- 대각합 = 2 + 2 − 2 = 2이므로 λ²의 계수는 −2입니다.
- 2 × 2 주소행렬식의 합 = 4 + (−4) + (−1) = −1이 λ의 계수입니다.
- det(A) = 2 × (2 × (−2) − (−1) × 3) = 2 × (−1) = −2이므로 상수항은 (−1)³ × (−2) = 2입니다.
- p(λ) = λ³ − 2λ² − λ + 2, 계수 1, −2, −1, 2, 차수 3입니다.
- det(A − λI) = −(λ³ − 2λ² − λ + 2)입니다.
결과 해석
p(λ) = 0을 인수분해하거나 풀면 고윳값이 나옵니다. 여기서는 p(λ) = (λ − 2)(λ² − 1)이므로 고윳값은 2, 1, −1입니다. 고윳값의 합은 대각합(2), 곱은 행렬식(−2)과 같아 어떤 답이든 빠르게 검산할 수 있습니다.
흔한 실수
- det(λI − A)와 det(A − λI)를 섞어 계수 부호를 하나씩 건너 틀리는 경우
- 대각 성분만이 아니라 모든 성분에서 λ를 빼는 경우
- 3 × 3 행렬식의 계산 실수(대각합과 행렬식으로 검산하십시오)
- 실수 행렬이면 근도 실수라고 기대하는 경우(복소 고윳값이 나올 수 있습니다)
자주 묻는 질문
특성다항식은 어디에 쓰이나요?
그 근이 행렬의 고윳값입니다.
det(λI − A)와 det(A − λI)의 차이는?
(−1)ⁿ배만큼 다르며, 근은 같습니다.
답을 어떻게 검산하나요?
λⁿ⁻¹의 계수가 −trace(A), 상수항이 (−1)ⁿ det(A)인지 확인합니다.
출처: A. Davis, P. Zachlin et al., Coordinated Linear Algebra (University of Nebraska–Lincoln), §6.1 Eigenvalues and Eigenvectors