홍라이프 계산기카이제곱분포 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
카이제곱분포 계산기는 χ² 검정통계량과 자유도로 오른쪽 꼬리 p값을 구하고, 유의수준 α에 해당하는 임계 χ²값을 알려 줍니다. 적합도 검정, 분할표의 독립성 검정, 분산에 대한 검정과 신뢰구간에서 사용합니다.
계산 방법
- p값(오른쪽 꼬리) = 1 − F(χ²; df)로, 귀무가설이 참일 때 관측값 이상으로 큰 통계량이 나올 확률입니다.
- 임계 χ²는 F(c; df) = 1 − α를 만족하는 c이며 수치 탐색으로 구합니다.
F는 카이제곱분포의 누적분포함수로, 정규화된 하부 불완전 감마함수를 써서 F(x; k) = P(k/2, x/2)로 계산합니다. 자유도는 범주가 k개인 적합도 검정에서 k − 1(추정한 모수가 있으면 그 수만큼 더 뺌), r × c 분할표에서 (r − 1)(c − 1)입니다. 통계량은 음수가 될 수 없습니다.
원리
서로 독립인 표준정규변수 Z₁, …, Z_k의 제곱합 Z₁² + … + Z_k²은 자유도 k인 카이제곱분포를 따릅니다. 적합도·독립성 검정에서 각 항 (관측도수 − 기대도수)² ÷ 기대도수는 기대도수가 충분히 크면 표준정규변수의 제곱처럼 행동하므로, 그 합이 근사적으로 χ²분포를 따릅니다. 이 분포는 오른쪽으로 꼬리가 길고 평균은 k, 분산은 2k이며 k가 커질수록 대칭에 가까워집니다. 큰 값만이 적합도가 나쁘다는 신호이므로 오른쪽 꼬리를 씁니다.
예제 풀이
- 입력값: χ² = 7.8, 자유도 3, α = 0.05입니다.
- F(7.8; 3) = P(1.5, 3.9) ≈ 0.94967입니다.
- p값 = 1 − 0.94967 ≈ 0.0503입니다.
- F(c; 3) = 0.95를 풀면 임계값 c ≈ 7.8147입니다.
| χ² 통계량 | p-값 (오른쪽 꼬리) |
|---|---|
| 1.95 | 0.5828489711 |
| 3.9 | 0.2724667583 |
| 5.85 | 0.1191405311 |
| 7.8 | 0.0503310979 |
| 9.75 | 0.0208152531 |
| 11.7 | 0.0084847789 |
| 15.6 | 0.0013694899 |
결과 해석
p ≈ 0.0503은 0.05보다 조금 크고 χ² = 7.8은 임계값 7.815보다 조금 작으므로, 유의수준 5%에서 아주 근소한 차이로 귀무가설을 기각하지 못합니다. α = 0.05의 임계값은 자유도 1에서 3.841, 2에서 5.991, 3에서 7.815, 4에서 9.488입니다. 귀무가설이 맞다면 통계량은 대체로 자유도 근처의 값이 나옵니다.
흔한 실수
- 자유도로 (r − 1)(c − 1) 대신 전체 칸 수를 쓰는 경우
- 실제 도수가 아닌 백분율로 검정하는 경우
- 기대도수가 작은 칸을 무시하는 경우(흔히 기대도수 5 이상을 기준으로 삼습니다)
자주 묻는 질문
카이제곱 검정은 왜 단측검정인가요?
통계량은 관측도수와 기대도수의 차이가 클수록 커지므로, 큰 값만이 귀무가설에 반하는 증거가 됩니다.
χ²가 아주 작으면 무슨 뜻인가요?
기대와 지나치게 잘 맞는다는 뜻입니다. 극단적으로 작은 값은 자료가 너무 완벽해 의심스럽다는 신호일 수도 있습니다.
카이제곱분포의 평균은 얼마인가요?
자유도와 같고 분산은 자유도의 두 배입니다.
출처: Pearson, K., Philosophical Magazine, Series 5, 50(302), 1900 · NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.6.6.6 Chi-Square Distribution