홍라이프 계산기카이제곱 적합도 검정 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
카이제곱 적합도 검정은 여러 범주에서 관측한 빈도가 미리 정해 둔 분포와 들어맞는지를 판단하는 방법입니다. 주사위가 공정한지, 손님이 요일별로 고르게 오는지, 유전 실험 결과가 3 : 1 비율을 따르는지 등을 확인할 때 사용합니다. 관측빈도를 입력하고, 기대빈도는 선택적으로 입력합니다. 비워 두면 모든 범주의 빈도가 같다는 가설을 검정합니다.
계산 방법
- 기대값은 관측 합계에 맞게 환산합니다. E_i = (입력한 기대값_i ÷ 기대값 합계) × N이며, 비워 두면 모든 E_i = N ÷ k입니다.
- χ² = Σ(O_i − E_i)² ÷ E_i를 k개 범주에 대해 더합니다.
- 합계 N이 정해지면 k − 1개만 자유롭게 정해지므로 자유도는 k − 1입니다.
- p값은 자유도 k − 1인 카이제곱분포에서 χ²보다 큰 쪽의 확률입니다.
환산 과정 덕분에 기대값은 빈도, 백분율, '3, 1' 같은 비율 어느 형태로 입력해도 됩니다.
원리
(O − E)² ÷ E는 한 범주가 기대빈도에서 얼마나 벗어났는지를 그 기대빈도의 크기에 비추어 잰 값입니다. 귀무가설이 참이면 각 빈도는 E 주변에서 우연히 흔들리고, 표준화한 차이의 제곱은 대략 표준정규분포를 제곱한 값처럼 행동합니다. 이것을 더하면 카이제곱분포가 됩니다. 기대분포의 모수를 같은 자료로 추정했다면 모수 하나마다 자유도를 하나씩 더 빼야 하지만, 이 계산기는 이를 자동으로 반영하지 않습니다.
예제 풀이
- 관측빈도: 18, 22, 20, 25, 15 → N = 100, k = 5입니다.
- 기대빈도를 비워 두었으므로 각 E = 100 ÷ 5 = 20입니다.
- 차이의 제곱: 4, 4, 0, 25, 25, 합계 58입니다.
- χ² = 58 ÷ 20 = 2.9입니다.
- 자유도 = 5 − 1 = 4입니다.
- 자유도 4에서 2.9보다 큰 쪽의 확률은 p ≈ 0.5747입니다.
결과 해석
예제처럼 p값이 크면 관측된 차이가 우연으로 충분히 설명되므로, 균등분포 가설을 기각할 근거가 없습니다. 다만 가설이 참이라고 증명된 것은 아닙니다. p값이 유의수준(보통 0.05)보다 작으면 자료가 가설 분포와 맞지 않는다고 판단합니다. 참고로 유의수준 5%의 임계값은 자유도 1에서 3.84, 2에서 5.99, 4에서 9.49입니다. 어느 범주가 어긋났는지는 범주별 (O − E)² ÷ E 값을 비교하면 알 수 있습니다.
흔한 실수
- 관측값에 백분율을 넣는 경우(관측값은 반드시 실제 빈도여야 합니다)
- 기대빈도가 매우 작은 범주를 그대로 두고 검정하는 경우
- 자료를 본 뒤 원하는 결과가 나오도록 범주를 합치는 경우
자주 묻는 질문
기대 비율이 서로 다를 때도 검정할 수 있나요?
네. 범주 순서대로 '3, 1'처럼 입력하면 관측 합계에 맞게 자동 환산됩니다.
표본이 크면 왜 작은 차이도 유의하게 나오나요?
같은 비율 차이라도 χ²가 대략 N에 비례해 커지므로, 표본이 매우 크면 사소한 차이도 p값이 작아집니다.
독립성 검정과 공식이 같은데 무엇이 다른가요?
적합도 검정은 변수 하나를 고정된 가설 분포와 비교하며 자유도가 k − 1입니다.
출처: Pearson, K. (1900). Philosophical Magazine, 50(302), 157–175. · Agresti, A. An Introduction to Categorical Data Analysis (Wiley).