홍라이프 계산기카이제곱 독립성 검정 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
카이제곱 독립성 검정은 두 범주형 변수가 서로 관련이 있는지를 분할표(교차표)의 관측 빈도로 판단하는 방법입니다. 성별에 따라 선호가 다른지, 치료 여부와 회복 여부가 관련 있는지처럼 '집단 × 응답' 형태의 자료를 분석할 때 널리 사용합니다. 표를 행 단위로 입력하면 χ² 통계량, 자유도, p값, 그리고 연관성의 크기를 나타내는 크라메르 V를 계산합니다.
계산 방법
- 각 칸의 기대빈도는 E = 행 합계 × 열 합계 ÷ 전체 합계입니다.
- 검정통계량은 모든 칸에 대해 χ² = Σ(O − E)² ÷ E를 더한 값입니다. O는 관측빈도입니다.
- 자유도는 df = (행 수 − 1) × (열 수 − 1)입니다.
- p값은 자유도 df인 카이제곱분포에서 χ²보다 큰 쪽의 넓이입니다.
- 크라메르 V = √(χ² ÷ (N × min(행 − 1, 열 − 1)))이며, N은 전체 합계입니다.
입력값은 백분율이나 평균이 아니라 실제 빈도(인원수, 건수)여야 합니다.
원리
두 변수가 독립이라면 어느 행에서나 각 열이 차지하는 비율이 같아야 합니다. 그래서 각 칸에는 '행 합계 × 전체에서 그 열이 차지하는 비율'만큼이 기대되고, 이것이 기대빈도 공식입니다. χ²는 관측값과 기대값의 차이를 제곱해 기대값으로 나눈 뒤 모두 더한 것으로, 독립이라는 귀무가설에서 얼마나 벗어났는지를 나타냅니다. 표본이 충분히 크면 이 값은 근사적으로 카이제곱분포를 따르며, 이는 칼 피어슨(1900)이 제시한 결과입니다.
예제 풀이
- 표: 1행 = 20, 30 / 2행 = 30, 20. 행 합계와 열 합계는 모두 50, 전체 합계는 100입니다.
- 모든 칸의 기대빈도는 50 × 50 ÷ 100 = 25입니다.
- 각 칸은 (±5)² ÷ 25 = 1을 보태므로 χ² = 4입니다.
- 자유도는 (2 − 1)(2 − 1) = 1입니다.
- 자유도 1에서 4보다 큰 쪽의 넓이는 p ≈ 0.0455입니다.
- 크라메르 V = √(4 ÷ 100) = 0.2입니다.
결과 해석
p값이 유의수준(보통 0.05)보다 작으면 독립이라는 가정 아래에서 보기 드문 결과이므로 독립성을 기각합니다. 예제의 p ≈ 0.046은 0.05를 아슬아슬하게 밑돕니다. 크라메르 V는 0(연관 없음)에서 1(완전한 연관) 사이의 값이며, 2 × 2 표에서는 파이 계수의 절댓값과 같습니다. 0.2는 통계적으로 유의하더라도 연관성 자체는 크지 않은 편이므로 p값과 함께 보고하는 것이 좋습니다.
흔한 실수
- 빈도 대신 백분율을 입력하는 경우
- 한 사람을 여러 칸에 중복해서 세는 경우(관측은 서로 독립이어야 합니다)
- 유의한 결과를 인과관계의 증거로 해석하는 경우
자주 묻는 질문
독립성 검정과 적합도 검정은 무엇이 다른가요?
독립성 검정은 한 표 안의 두 변수 관계를, 적합도 검정은 한 변수의 빈도가 정해진 분포와 맞는지를 봅니다.
예이츠 수정을 하면 결과가 어떻게 달라지나요?
예제 표에 적용하면 χ² = 3.24, p ≈ 0.072로 더 보수적인 결과가 됩니다.
행이나 열의 순서를 바꾸면 결과가 달라지나요?
아닙니다. 순서를 바꿔도 χ², 자유도, p값은 같습니다.
출처: Pearson, K. (1900). Philosophical Magazine, 50(302), 157–175. · Agresti, A. An Introduction to Categorical Data Analysis (Wiley).