원의 방정식 계산기 (표준형·일반형)

원의 방정식 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

원은 한 점인 중심 (h, k)에서 같은 거리 r만큼 떨어진 점들의 모임입니다. 이 계산기는 중심과 반지름을 입력받아 원의 방정식을 두 가지 꼴로 나타냅니다. 하나는 중심과 반지름이 한눈에 보이는 표준형이고, 다른 하나는 이를 전개한 일반형으로 교과서, 그래프 프로그램, 시험 문제에 자주 나옵니다. 두 꼴을 오가는 것은 도형의 방정식 단원의 기본 과정입니다.

계산 방법

• 표준형: (x − h)² + (y − k)² = r²입니다.
• 일반형: x² + y² + Dx + Ey + F = 0이며 D = −2h, E = −2k, F = h² + k² − r²입니다.
• 일반형에서 표준형으로: 중심은 (−D/2, −E/2), 반지름은 r = √(D²/4 + E²/4 − F)입니다.

r은 양수여야 하고 h와 k는 어떤 실수여도 됩니다.

원리

원 위의 한 점 (x, y)를 생각하면 중심에서의 가로 거리는 x − h, 세로 거리는 y − k입니다. 피타고라스 정리에 따라 두 점 사이의 거리는 (x − h)² + (y − k)² = r²를 만족하며, 원은 바로 이 식을 만족하는 점 전체입니다. 제곱을 전개하면 x² − 2hx + h² + y² − 2ky + k² = r²가 되고, 모든 항을 한쪽으로 옮기면 일반형이 됩니다. 반대 방향은 완전제곱식으로 고치는 과정입니다. x항끼리, y항끼리 묶어 각 계수의 절반의 제곱을 더하고 빼면 중심과 반지름이 다시 드러납니다. D²/4 + E²/4 − F가 음수이면 실제 원이 존재하지 않고, 0이면 한 점이 됩니다.

예제 풀이

1. 입력값: 중심 (h, k) = (2, −3), 반지름 r = 4입니다.
2. 표준형: (x − 2)² + (y − (−3))² = 4²이므로 (x − 2)² + (y + 3)² = 16입니다.
3. D = −2 × 2 = −4, E = −2 × (−3) = 6입니다.
4. F = 2² + (−3)² − 4² = 4 + 9 − 16 = −3입니다.
5. 일반형: x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0입니다.

결과 해석

표준형의 괄호 안 부호는 중심 좌표와 반대입니다. (y + 3)은 k = −3이라는 뜻입니다. 우변의 수는 r가 아니라 r²이므로 16은 반지름 4를 나타냅니다. 일반형에서는 x, y의 계수가 −2h, −2k이므로 −2로 나누면 중심을 되찾을 수 있습니다. 어떤 점을 일반형의 좌변에 대입해 0보다 작으면 원의 내부, 0이면 원 위, 0보다 크면 외부입니다. 중심 (2, −3)을 대입하면 4 + 9 − 8 − 18 − 3 = −16이므로 내부입니다.

흔한 실수

• (x − 2)² + (y + 3)²에서 중심의 부호를 반대로 읽는 경우입니다.
• 우변에 r²가 아니라 r을 쓰는 경우입니다.
• x²과 y²의 계수가 같아야 한다는 점을 놓치는 경우입니다. 계수가 다르면 원이 아니라 타원입니다.

자주 묻는 질문

x² + y² − 4x + 6y − 3 = 0의 중심과 반지름은 어떻게 구하나요?

완전제곱식으로 고치면 (x − 2)² − 4 + (y + 3)² − 9 − 3 = 0, 곧 (x − 2)² + (y + 3)² = 16이므로 중심 (2, −3), 반지름 4입니다.

x²과 y²의 계수가 2라면 어떻게 하나요?

먼저 식 전체를 2로 나눈 뒤 D, E, F를 읽습니다.

원점이 중심인 원의 방정식은 무엇인가요?

x² + y² = r²입니다. D와 E는 0이고 F = −r²입니다.

출처: R. Descartes, La Géométrie (1637) · J. Stewart, L. Redlin and S. Watson, Precalculus: Mathematics for Calculus, Cengage, section on circles