홍라이프 계산기원의 성질 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 원에 관한 대표적인 정리를 적용합니다. 원주각과 중심각, 원에 내접하는 사각형의 마주 보는 각, 접선과 현이 이루는 각, 원 안에서 만나는 두 현의 각, 원 밖에서 만나는 할선이나 접선의 각, 그리고 두 현의 교점 길이와 접선-할선 길이 법칙을 다룹니다. 정리를 고르고 아는 값을 넣으면 사용한 규칙과 함께 구하려는 각, 호, 길이를 알려 줍니다.
계산 방법
- 같은 호에 대한 원주각 = 중심각 ÷ 2 (중심각 = 2 × 원주각)
- 원에 내접하는 사각형: 마주 보는 두 각의 합은 180°
- 접선과 현이 이루는 각 = 그 사이 호 ÷ 2
- 원 안에서 만나는 두 현: 각 = (호₁ + 호₂) ÷ 2
- 원 밖에서 만나는 할선이나 접선: 각 = (먼 호 − 가까운 호) ÷ 2
- 두 현의 교점: a × b = c × d, 접선-할선: t² = 바깥 부분 × 할선 전체
각과 호는 도 단위, 길이는 어떤 단위든 됩니다.
원리
핵심은 원주각 정리입니다. 중심에서 호의 양 끝과 원 위의 점까지 반지름을 그으면 이등변삼각형이 생기고, 밑각을 더해 보면 원 위의 각이 중심각의 절반이라는 것을 알 수 있습니다. 다른 각 규칙은 모두 여기서 나옵니다. 반원에 대한 원주각은 180° 호 위에 서므로 90°이고, 내접 사각형의 마주 보는 두 각은 합쳐서 360°인 호 위에 서므로 합이 180°입니다. 길이 법칙은 현이나 할선이 만드는 닮은 삼각형에서 나옵니다.
예제 풀이
기본값: 중심각 → 원주각, 값 1 = 110°.
- 사용한 규칙은 원주각 = 중심각 ÷ 2입니다.
- 원주각 = 110° ÷ 2 = 55°입니다.
- 구한 값은 원주각(°)이며, 값 2와 값 3은 이 정리에서 쓰지 않습니다.
| 값 1 (각, 호 또는 길이) | 결과 |
|---|---|
| 27.5 | 13.75 |
| 55 | 27.5 |
| 82.5 | 41.25 |
| 110 | 55 |
| 138 | 68.75 |
| 165 | 82.5 |
| 220 | 110 |
결과 해석
답이 그림과 맞는지 확인하십시오. 원주각은 항상 180°보다 작고, 큰 호 위에 선 각은 둔각입니다. 각을 알고 호를 구해야 한다면 정리를 거꾸로 쓰면 됩니다. 호의 크기(도)는 중심각과 같습니다. 길이 법칙에서는 두 곱이 같아야 하므로, 측정값을 빠르게 검산하는 데도 쓸 수 있습니다. 예를 들어 두 현이 3과 8, 4와 6으로 나뉘었다면 3 × 8 = 4 × 6 = 24로 맞아떨어집니다. 시험 문제에서는 그림에 표시된 호가 어느 각에 대응하는지 먼저 표시해 두면 실수가 크게 줄어듭니다.
흔한 실수
- 각이 서 있는 작은 호 대신 큰 호를 쓰는 경우
- 원 밖에서 만나는 각에 호를 더하는 경우(바깥 각은 차를 씁니다)
- 접선과 현이 이루는 각에서 호를 반으로 나누지 않는 경우
- t² = 바깥 부분 × 전체에서 전체 대신 안쪽 부분을 쓰는 경우
자주 묻는 질문
원주각 정리란?
원 위의 한 점에서 만든 각은 같은 호에 대한 중심각의 절반이라는 정리입니다.
반원에 대한 원주각이 90°인 이유는?
180° 호 위에 서 있고, 180°의 절반이 90°이기 때문입니다.
두 현이 만날 때의 길이 법칙은?
두 현이 교차하면 각 현이 나뉜 부분의 곱이 같습니다. a × b = c × d입니다.
출처: Euclid, Elements, Book III (circle theorems)