홍라이프 계산기세 점을 지나는 원 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
한 직선 위에 있지 않은 세 점을 지나는 원은 오직 하나뿐입니다. 이 계산기는 그 원의 중심과 반지름을 구합니다. 도형으로 보면 이 원은 세 점이 이루는 삼각형의 외접원이고, 중심은 외심입니다. 측정한 세 점으로 곡선 도로의 반지름이나 깨진 접시의 원래 크기를 알아낼 때 쓰입니다.
계산 방법
점을 "x y; x y; x y" 형식으로 입력합니다. 세 점을 A(ax, ay), B(bx, by), C(cx, cy)라 하면 다음과 같습니다.
- d = 2[ax(by − cy) + bx(cy − ay) + cx(ay − by)]입니다. d = 0이면 세 점이 한 직선 위에 있어 원이 존재하지 않습니다.
- 중심의 x좌표: uₓ = [(ax² + ay²)(by − cy) + (bx² + by²)(cy − ay) + (cx² + cy²)(ay − by)] ÷ d입니다.
- 중심의 y좌표: u_y = [(ax² + ay²)(cx − bx) + (bx² + by²)(ax − cx) + (cx² + cy²)(bx − ax)] ÷ d입니다.
- 반지름: 중심에서 세 점 중 아무 점까지의 거리입니다.
원리
원의 중심은 세 점에서 같은 거리에 있어야 합니다. A와 B에서 같은 거리에 있는 점들은 선분 AB의 수직이등분선 위에 있고, B와 C에서 같은 거리에 있는 점들은 선분 BC의 수직이등분선 위에 있습니다. 두 수직이등분선이 만나는 점은 세 점 모두에서 같은 거리에 있으므로 원의 중심이 됩니다. 두 거리의 제곱이 같다는 식을 세우면 제곱항이 소거되어 중심 좌표에 대한 일차방정식 두 개가 나오고, 이를 크라메르 공식으로 풀면 위의 식이 됩니다. d는 삼각형의 부호 있는 넓이의 네 배이므로 세 점이 한 직선 위에 있을 때 정확히 0이 됩니다.
예제 풀이
- 입력값: A = (0, 0), B = (4, 0), C = (0, 3)입니다.
- d = 2[0 × (0 − 3) + 4 × (3 − 0) + 0 × (0 − 0)] = 24입니다.
- 각 점의 x² + y²는 A가 0, B가 16, C가 9입니다. uₓ의 분자는 0 × (0 − 3) + 16 × (3 − 0) + 9 × (0 − 0) = 48이므로 uₓ = 48 ÷ 24 = 2입니다.
- u_y의 분자는 0 × (0 − 4) + 16 × (0 − 0) + 9 × (4 − 0) = 36이므로 u_y = 36 ÷ 24 = 1.5입니다. 중심은 (2, 1.5)입니다.
- 반지름: √((0 − 2)² + (0 − 1.5)²) = √6.25 = 2.5입니다.
결과 해석
예제의 삼각형은 원점에서 직각이므로 탈레스의 정리에 따라 중심은 빗변 BC의 중점이고 반지름은 빗변 길이 5의 절반인 2.5입니다. 예각삼각형이면 외심이 삼각형 내부에, 둔각삼각형이면 외부에 있습니다. 세 점이 직선에 가까울수록 반지름이 매우 커지고 측정 오차에도 민감해집니다.
흔한 실수
- 입력 형식을 틀리는 경우입니다. x와 y 사이는 띄어쓰기, 점과 점 사이는 세미콜론으로 구분합니다.
- 완만한 곡선에서 너무 가까운 세 점을 고르는 경우입니다. 결과가 불안정해집니다.
자주 묻는 질문
한 직선 위의 세 점으로는 왜 원을 만들 수 없나요?
두 수직이등분선이 평행하여 만나지 않으므로 세 점에서 같은 거리에 있는 점이 없기 때문입니다.
호의 현과 높이로 반지름을 구할 수 있나요?
현의 길이가 L, 호의 높이가 s이면 r = (L²/4 + s²) ÷ (2s)입니다.
네 점이 한 원 위에 있는지는 어떻게 확인하나요?
세 점으로 원을 구한 뒤 네 번째 점까지의 거리가 반지름과 같은지 확인하면 됩니다.
출처: Euclid, Elements, Book IV, Proposition 5 (circumscribing a circle about a triangle) · D. Zwillinger (ed.), CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press