홍라이프 계산기여인수 전개 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 고른 행이나 열을 따라 여인수(라플라스) 전개로 행렬식을 구합니다. 각 소행렬식, 부호, 여인수, 항을 나열해 손계산을 따라가거나 확인할 수 있게 하고, 0이 가장 많아 전개하기 쉬운 줄도 알려 줍니다.
계산 방법
소행렬식 M_ij = A에서 i행과 j열을 지운 행렬의 행렬식
여인수 C_ij = (−1)^(i+j) × M_ij
i행을 따라: det(A) = a_i1 C_i1 + a_i2 C_i2 + … + a_in C_in
j열을 따라: det(A) = a_1j C_1j + a_2j C_2j + … + a_nj C_nj
- 부호는 왼쪽 위가 +인 바둑판 모양입니다.
원리
행렬식은 각 행과 각 열에서 성분을 하나씩 고르는 모든 방법에 부호를 붙여 더한 것입니다. 이 항들을 한 행에서 어느 성분을 골랐는지에 따라 묶으면 전개식이 나옵니다. 각 성분에 그 행과 열을 지우고 남은 행렬의 행렬식이 곱해집니다. 바둑판 부호는 그 행과 열을 지울 때 배열의 홀짝이 바뀌는지를 나타냅니다. 어느 행이나 열로 전개해도 답이 같으므로, 0이 많은 줄을 고르면 그 성분의 소행렬식을 계산할 필요가 없어 일이 줄어듭니다.
예제 풀이
기본값: A = [2 −1 0; 1 3 2; 0 1 4], 1행을 따라 전개.
- 1행의 부호는 + − +입니다.
- 소행렬식: M₁₁ = det[3 2; 1 4] = 12 − 2 = 10, M₁₂ = det[1 2; 0 4] = 4, M₁₃ = det[1 3; 0 1] = 1이므로 10, 4, 1입니다.
- 여인수는 10, −4, 1입니다.
- 항: 2 × 10 = 20, (−1) × (−4) = 4, 0 × 1 = 0, 즉 20, 4, 0입니다.
- det(A) = 2·10 + (−1)·(−4) + 0·1 = 24이며, 추천 줄은 1행입니다.
결과 해석
행렬식이 0이면 특이행렬로, 행들이 일차종속이고 역행렬이 없습니다. 행렬식의 절댓값은 그 행렬이 넓이(2 × 2)나 부피(3 × 3)를 몇 배로 바꾸는지를 나타내고, 음수는 방향이 뒤집힌다는 뜻입니다. 손으로는 3 × 3까지, 0이 많다면 4 × 4까지 전개하는 것이 적당하며, 그보다 큰 행렬은 행 소거가 훨씬 빠릅니다.
흔한 실수
- 바둑판 부호, 특히 (1, 2) 자리의 빼기를 잊는 경우
- 소행렬식을 구할 때 엉뚱한 행이나 열을 지우는 경우
- 소행렬식과 여인수를 혼동하는 경우
- 0이 있는 줄이 있는데 0이 없는 줄로 전개하는 경우
자주 묻는 질문
여인수 전개란?
한 행이나 열의 성분과 그 여인수의 곱을 더해 행렬식을 구하는 방법입니다.
어느 행으로 전개해도 되나요?
네, 모든 행과 열이 같은 값을 줍니다. 0이 가장 많은 줄을 고르십시오.
소행렬식과 여인수의 차이는?
여인수는 소행렬식에 (−1)^(i+j)를 곱한 값입니다.
출처: D. Margalit & J. Rabinoff, Interactive Linear Algebra, §4.2 Cofactor Expansions · A. Davis, P. Zachlin et al., Coordinated Linear Algebra (University of Nebraska–Lincoln), §5.1