홍라이프 계산기여인수 행렬 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 정사각행렬의 소행렬식 행렬, 여인수 행렬, 수반행렬을 만들고, 첫째 행으로 행렬식을 검산합니다. 선형대수 숙제, 수반행렬을 이용한 역행렬 구하기, 손계산의 각 단계를 확인할 때 쓸 수 있습니다.
계산 방법
소행렬식 M_ij = A에서 i행과 j열을 지운 행렬의 행렬식
여인수 C_ij = (−1)^(i+j) × M_ij
부호 배치: + − + / − + − / + − + …
수반행렬 adj(A) = Cᵀ, det(A) ≠ 0이면 A⁻¹ = adj(A) ÷ det(A)
검산: det(A) = a₁₁C₁₁ + a₁₂C₁₂ + … + a₁ₙC₁ₙ
원리
여인수는 행렬식이 한 성분에 얼마나 민감한지를 나타냅니다. a_ij를 조금 바꾸면 행렬식은 그 변화량에 C_ij를 곱한 만큼 바뀝니다. 그래서 A의 한 행에 자기 행의 여인수를 곱해 더하면 행렬식이 되고, 다른 행의 여인수를 곱하면 같은 행이 두 개인 행렬의 행렬식이라 0이 됩니다. 여인수 행렬을 전치하면 이런 곱들이 제자리에 놓여 A × adj(A) = det(A) × I가 되고, 여기서 역행렬이 나옵니다.
예제 풀이
기본값: A = [1 2 3; 0 4 5; 1 0 6].
- 소행렬식: 1행 24, −5, −4, 2행 12, 3, −2, 3행 −2, 5, 4이므로 소행렬식 행렬 [24 −5 −4; 12 3 −2; −2 5 4]입니다.
- 부호 배치 [+ − +; − + −; + − +]를 적용합니다.
- 여인수 행렬 C = [24 5 −4; −12 3 2; −2 −5 4]입니다.
- 수반행렬 adj(A) = Cᵀ = [24 −12 −2; 5 3 −5; −4 2 4]입니다.
- det(A) = 1 × 24 + 2 × 5 + 3 × (−4) = 22이므로 A⁻¹ = adj(A) ÷ 22입니다.
결과 해석
행렬식이 0이어도 여인수 행렬은 있지만 역행렬은 없습니다. 2 × 2 행렬 [a b; c d]의 여인수 행렬은 [d −c; −b a]입니다. 행렬식에 비해 여인수가 크면 역행렬의 성분이 커진다는 뜻이어서, 입력값의 작은 오차가 크게 부풀려질 수 있습니다. 손계산할 때는 소행렬식 행렬, 부호, 전치를 단계별로 따로 적어 두면 어디서 틀렸는지 찾기 쉽습니다.
흔한 실수
- 소행렬식에 부호를 두 번 적용하거나 아예 적용하지 않는 경우
- 여인수 행렬에서 수반행렬로 갈 때 전치를 잊는 경우
- 소행렬식을 구하며 엉뚱한 행이나 열을 지우는 경우
- 행렬식이 0인지 확인하기 전에 나누는 경우
자주 묻는 질문
여인수 행렬과 수반행렬의 차이는?
수반행렬은 여인수 행렬을 전치한 것입니다.
여인수로 역행렬은 어떻게 구하나요?
여인수 행렬을 만들어 전치한 뒤 행렬식으로 나눕니다.
2 × 2 행렬의 여인수 행렬은?
[a b; c d]이면 [d −c; −b a]입니다.
출처: D. Margalit & J. Rabinoff, Interactive Linear Algebra, §4.2 Cofactor Expansions · A. Davis, P. Zachlin et al., Coordinated Linear Algebra (University of Nebraska–Lincoln), §5.3