홍라이프 계산기동전 회전 역설 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 동전 회전 역설에 답합니다. 동전 하나가 다른 동전 둘레를 미끄러지지 않고 한 바퀴 굴러가면 몇 번 회전할까요? 같은 크기의 동전이 바깥으로 굴러가면 놀랍게도 1번이 아니라 2번입니다. 두 반지름과 안쪽·바깥쪽을 넣어 일반 규칙을 확인할 수 있습니다.
계산 방법
바깥으로 굴러갈 때: N = (R + r) ÷ r = R/r + 1
안쪽으로 굴러갈 때: N = (R − r) ÷ r = R/r − 1
구르는 동전 중심의 경로 = 바깥 2π(R + r), 안쪽 2π(R − r)
접촉 경로의 길이 = 2πR
- R은 고정된 동전, r은 구르는 동전의 반지름이며 같은 단위로 넣습니다.
원리
미끄러지지 않고 구른다는 것은 구르는 동전의 테두리가 고정된 동전의 테두리를 따라 풀려 나간다는 뜻이며, 이것만으로는 R ÷ r번 돕니다. 그런데 구르는 동전은 달이 지구 둘레를 돌듯 고정된 동전 둘레를 한 바퀴 실려 가기도 합니다. 바깥으로 돌면 이 때문에 한 바퀴가 더해지고, 안쪽으로 돌면 한 바퀴가 빠집니다. 같은 내용을 달리 보면, 구르는 동전의 중심은 반지름 R + r인 원을 따라가며, 중심이 2πr만큼 갈 때마다 동전이 한 번 돕니다.
예제 풀이
기본값: R = 12mm, r = 12mm, 바깥으로 굴림.
- 구르는 거리만으로의 회전 = R ÷ r = 12 ÷ 12 = 1번입니다.
- 둘레를 한 바퀴 도는 효과로 +1번이 더해집니다.
- 전체 회전 = (12 + 12) ÷ 12 = 2번입니다.
- 중심의 경로 = 2π × 24 = 150.796mm, 접촉 경로 = 2π × 12 = 75.3982mm입니다.
| 굴러가는 동전의 반지름 r (mm) | 굴러가는 동전의 회전 수 |
|---|---|
| 3 | 5 |
| 6 | 3 |
| 9 | 2.33333 |
| 12 | 2 |
| 15 | 1.8 |
| 18 | 1.66667 |
| 24 | 1.5 |
결과 해석
'+1' 또는 '−1'은 크기와 상관없이 고정된 동전 둘레를 한 바퀴 도는 효과입니다. 작은 동전이 큰 동전 둘레를 돌면 이 한 바퀴의 비중이 작지만, 같은 크기면 회전수가 두 배가 됩니다. 직접 확인하려면 동전 두 개를 나란히 놓고 위쪽 동전의 그림이 바로 선 상태에서 출발해 보십시오. 반 바퀴만 돌아 반대편에 이르러도 그림이 다시 바로 서 있는 것을 볼 수 있습니다. 같은 원리로 항성일이 태양일보다 짧습니다. 지구가 1년에 태양 둘레를 한 바퀴 돌면서 자전 횟수 계산이 한 번 달라지기 때문입니다.
흔한 실수
- 접촉 거리만 세고 둘레를 도는 효과를 잊는 경우
- 안쪽으로 굴러갈 때 한 바퀴를 빼지 않고 더하는 경우
- 반지름과 지름을 섞는 경우
- 미끄러짐이 있는 상황에 이 규칙을 쓰는 경우
자주 묻는 질문
같은 동전 둘레를 굴리면 몇 번 도나요?
바깥으로 굴리면 두 번 돕니다.
지름이 두 배인 고리 안쪽을 굴리면요?
N = (2r − r) ÷ r = 1번입니다.
이 효과는 또 어디에 나타나나요?
유성 기어 장치와, 항성일과 태양일의 차이에서 볼 수 있습니다.
큰 동전 둘레를 작은 동전이 돌면요?
반지름이 3배인 동전 둘레를 바깥으로 돌면 3 + 1 = 4번, 안쪽으로 돌면 3 − 1 = 2번 돕니다.
출처: O. L. Santos-Pereira (2025), "Roullete curves, coin paradox and Aristotle's wheel paradox", arXiv:2512.00123