열공간 계산기 (피벗 열로 구하는 Col A의 기저와 차원)

열공간 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

이 계산기는 피벗 열을 이용해 행렬의 열공간 기저와 차원을 구합니다. 기약 행사다리꼴(RREF), 피벗 위치, 행공간의 기저, 열들이 ℝᵐ 전체를 생성하는지도 보여 줍니다. 생성, 계수(rank), Ax = b의 해 존재에 관한 선형대수 숙제에 쓸 수 있습니다.

계산 방법

1. A를 기약 행사다리꼴(RREF)로 만듭니다.
2. 피벗(선행 1)이 있는 열을 찾습니다.
3. 원래 행렬 A의 피벗 열들이 Col(A)의 기저입니다.
4. Col(A)의 차원 = 피벗 수 = A의 계수입니다.
5. RREF의 0이 아닌 행들이 Row(A)의 기저이며, 차원이 같습니다.

• 작은 상대 허용오차로 피벗을 찾으므로 반올림 잡음이 있는 소수 입력도 적절히 처리됩니다.

원리

열공간은 A의 열들로 만들 수 있는 모든 일차결합이며, Ax = b가 해를 가지는 b 전체와 같습니다. 행 연산은 열 자체를 바꾸므로 RREF의 열은 Col(A)의 기저가 아닙니다. 하지만 열 사이의 일차 관계는 그대로 유지됩니다. RREF에서 피벗이 없는 열은 앞의 피벗 열들의 결합이고, 같은 관계가 A에서도 성립합니다. 그래서 원래의 피벗 열들이 전부를 생성하면서 서로 독립입니다. 행 연산은 행공간을 바꾸지 않으므로 RREF의 행은 Row(A)에 그대로 쓸 수 있습니다.

예제 풀이

기본값: A = [1 2 0 −1; −2 −3 4 5; 2 4 0 −2].

1. A의 RREF = [1 0 −8 −7; 0 1 4 3; 0 0 0 0]입니다.
2. 피벗 열은 1, 2열입니다.
3. Col(A)의 기저는 A의 1열과 2열인 (1, −2, 2), (2, −3, 4)입니다.
4. Col(A)의 차원 = 계수 = 2입니다.
5. Row(A)의 기저는 (1, 0, −8, −7), (0, 1, 4, 3)이며, Col(A)는 ℝ³ 전체가 아니라 2차원 부분공간입니다.

결과 해석

계수가 행의 수 m과 같으면 ℝᵐ의 모든 b에 도달할 수 있습니다. 여기서는 계수가 2이므로 Col(A)는 ℝ³에서 원점을 지나는 평면이고, Ax = b는 b가 그 평면 위에 있을 때만 해를 가집니다. RREF는 열 사이의 관계도 보여 줍니다. 3열 = −8 × 1열 + 4 × 2열이며, 이 관계가 원래 A에서도 맞는지 직접 확인해 볼 수 있습니다.

흔한 실수

• 원래 행렬이 아니라 RREF의 피벗 열을 기저로 쓰는 경우
• 열공간(ℝᵐ 안)과 행공간(ℝⁿ 안)을 혼동하는 경우
• 계수를 피벗이 아니라 0이 아닌 성분 개수로 세는 경우
• 행 소거 중 계산 실수를 하는 경우(원래 행렬에서 관계를 검산하십시오)

자주 묻는 질문

행렬의 열공간이란?

열들의 모든 일차결합으로 이루어진 ℝᵐ의 부분공간입니다.

왜 RREF가 아니라 원래 열을 쓰나요?

행 연산은 열을 바꾸지만 열 사이의 관계는 유지하므로, 원래 피벗 열만 Col(A)에 속합니다.

열공간의 차원이 계수인가요?

네, 그리고 행공간의 차원과도 같습니다.

출처: D. Margalit & J. Rabinoff, Interactive Linear Algebra, §2.7 Basis and Dimension