홍라이프 계산기완전제곱식 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 이차식 ax² + bx + c를 단계별로 완전제곱식으로 바꿉니다. 꼭짓점 꼴 a(x − h)² + k, 꼭짓점, 그리고 ax² + bx + c = 0의 해를 정확한 꼴과 소수로 보여 줍니다. 방법을 익히거나 포물선 그래프를 그리거나 숙제를 확인할 때 쓸 수 있습니다.
계산 방법
ax² + bx + c = a(x + p)² + q, p = b ÷ (2a), q = c − b² ÷ (4a)
꼭짓점 (h, k) = (−p, q)
ax² + bx + c = 0을 풀려면:
- 모든 항을 a로 나눕니다.
- 상수항을 우변으로 옮깁니다.
- 양변에 (b/2a)²을 더합니다.
- 좌변을 (x + b/2a)²으로 쓰고 제곱근을 취합니다.
- 계수가 정수면 단계를 정확한 분수로 보여 줍니다. 우변이 음수면 실근이 없습니다.
원리
(x + p)² = x² + 2px + p²을 보면, x² + bx는 상수 (b/2)²만 있으면 완전제곱식이 됩니다. 그만큼을 더하고 반대편에서 맞춰 주면 이차식이 '제곱 + 상수' 꼴이 됩니다. 제곱은 음수가 될 수 없으므로 꼭짓점 꼴에서 포물선의 꼭짓점을 바로 읽을 수 있습니다. 같은 단계를 일반 이차식에 적용하면 근의 공식이 나옵니다.
예제 풀이
기본값: a = 2, b = −6, c = 1, 즉 2x² − 6x + 1.
- 2로 나누면 x² − 3x + 1/2 = 0입니다.
- 상수항을 옮기면 x² − 3x = −1/2입니다.
- 양변에 (−3/2)² = 9/4를 더하면 x² − 3x + 9/4 = 7/4입니다.
- 제곱 꼴로 쓰면 (x − 3/2)² = 7/4이므로 x = 3/2 ± √(7/4), 즉 x₁ ≈ 0.177124, x₂ ≈ 2.82288입니다.
- 꼭짓점 꼴은 2(x − 3/2)² − 7/2, 꼭짓점은 (3/2, −7/2)입니다.
결과 해석
a > 0이면 꼭짓점이 포물선의 가장 낮은 점이고, a < 0이면 가장 높은 점입니다. 여기서는 x = 3/2에서 최솟값 −7/2를 가지며, 그래프는 두 해에서 x축과 만납니다. 4단계에서 우변이 음수라면 포물선이 x축에 닿지 않고 근은 허근입니다. 이차함수의 최댓값·최솟값 문제나 그래프 평행이동 문제는 모두 이 꼭짓점 꼴에서 출발하므로 꼭 익혀 두면 좋습니다.
흔한 실수
- a ≠ 1인데 먼저 a로 나누지 않는 경우
- (b/2)²을 한쪽에만 더하는 경우
- 나눈 뒤에도 b/2a 대신 b/2를 쓰는 경우
- 제곱근을 취하며 ±를 빼먹는 경우
자주 묻는 질문
완전제곱식으로 바꾼다는 것은?
이차식을 완전제곱식 더하기 상수, 즉 a(x − h)² + k 꼴로 고쳐 쓰는 것입니다.
꼭짓점 꼴에서 꼭짓점은 어떻게 읽나요?
a(x − h)² + k에서 꼭짓점은 (h, k)입니다.
근의 공식과 어떤 관계인가요?
근의 공식은 일반적인 ax² + bx + c에 완전제곱식 만들기를 한 번 적용한 결과입니다.
출처: OpenStax, Intermediate Algebra 2e, §9.2 Solve Quadratic Equations by Completing the Square