복소수 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

복소수 z = a + bi는 실수부 a와 허수부 b로 이루어진 수이며, i는 제곱하면 −1이 되는 허수단위입니다. 이 계산기는 두 복소수 z₁ = a + bi, z₂ = c + di의 덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈을 계산하고, z₁의 절댓값과 편각, 극형식도 함께 보여 줍니다. 복소수는 교류 회로의 임피던스 계산, 신호 처리, 제어 공학, 그리고 실근이 없는 방정식을 풀 때 널리 쓰입니다.

덧셈은 화살표 잇기입니다. z₁ 끝에 z₂를 붙이면 합 4 + 2i가 됩니다.

계산 방법

덧셈: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
뺄셈: (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d)i
곱셈: (a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
나눗셈: 분모와 분자에 켤레복소수 c − di를 곱해 [(ac + bd) + (bc − ad)i] ÷ (c² + d²)로 계산합니다.
절댓값: |z₁| = √(a² + b²)로, 복소평면에서 원점까지의 거리입니다.
편각: arg z₁ = atan2(b, a)이며 −180°에서 180° 사이의 도(°) 단위로 표시합니다.

원리

복소수의 계산은 i² = −1이라는 규칙 하나만 추가한 다항식 계산과 같습니다. 덧셈과 뺄셈은 실수부끼리, 허수부끼리 계산하므로 평면 위의 벡터 덧셈과 똑같습니다. 곱셈에서는 bi × di = bd·i² = −bd가 실수부로 넘어가기 때문에 실수부가 ac − bd가 됩니다. 나눗셈은 켤레복소수 덕분에 가능합니다. (c + di)(c − di) = c² + d²는 실수이므로, 분모와 분자에 같은 켤레를 곱하면 분모가 실수로 바뀝니다. 기하학적으로 두 복소수의 곱은 절댓값끼리 곱하고 편각끼리 더한 것이어서 극형식이 매우 편리합니다.

예제 풀이

기본 입력값은 z₁ = 3 + 4i, 연산 +, z₂ = 1 − 2i입니다.
실수부 3 + 1 = 4, 허수부 4 + (−2) = 2이므로 결과는 4 + 2i입니다.
z₁의 절댓값은 √(3² + 4²) = √25 = 5입니다.
z₁의 편각은 atan2(4, 3) = 53.13010235°입니다.
따라서 극형식은 5 ∠ 53.13010235°입니다.

결과 해석

결과는 실수부와 허수부로 나타납니다. 절댓값은 z₁의 크기(교류 회로라면 임피던스의 크기)를, 편각은 방향이나 위상을 뜻합니다. 편각이 양수이면 실수축 위쪽, 음수이면 아래쪽에 있는 수입니다. 나눗셈에서 z₂ = 0이면 결과가 정의되지 않습니다.

흔한 실수

곱의 실수부를 ac + bd로 쓰는 실수입니다. 올바른 부호는 빼기입니다.
나눗셈에서 켤레복소수를 쓰지 않고 실수부와 허수부를 따로 나누는 실수입니다.
편각을 arctan(b/a)로 구해 a < 0일 때 사분면을 잘못 잡는 경우가 많습니다.

주의: 부동소수점으로 계산하므로 아주 크거나 작은 값에서는 0 대신 1e-16 같은 미세한 반올림 오차가 보일 수 있습니다.

자주 묻는 질문

켤레복소수란 무엇인가요?

a + bi의 켤레복소수는 a − bi입니다. 둘을 곱하면 a² + b², 즉 절댓값의 제곱이 됩니다.

극형식을 다시 a + bi로 바꾸려면 어떻게 하나요?

a = r cos θ, b = r sin θ를 이용합니다. 5 ∠ 53.13°라면 5 × 0.6 = 3, 5 × 0.8 = 4가 됩니다.

복소수끼리 크기를 비교할 수 있나요?

3 + 4i > 1 − 2i처럼 대소를 정할 수는 없습니다. 비교하려면 절댓값(여기서는 5와 √5)을 비교합니다.

출처: NIST Digital Library of Mathematical Functions, §1.9 Calculus of a Complex Variable (dlmf.nist.gov) · 교육부, 2022 개정 수학과 교육과정(공통수학1 복소수와 이차방정식)

2026년 11월 8일 확인. 표준 공식을 이용해 브라우저에서 배정밀도 숫자로 계산합니다.

입력값