홍라이프 계산기복소수 극형식 변환과 드무아브르 정리 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
복소수 a + bi는 직교형식 (a, b)로도, 극형식 r(cos θ + i sin θ)로도 나타낼 수 있습니다. 여기서 r은 원점까지의 거리, θ는 양의 실수축에서 잰 각입니다. 이 계산기는 a + bi를 극형식으로 바꾸고, 드무아브르 정리로 n제곱을 계산하며, 주제곱근도 구해 줍니다. 복소수의 거듭제곱과 제곱근, 전기공학의 페이저, 평면 회전 계산에 쓰입니다.
계산 방법
- 절댓값: r = √(a² + b²)
- 편각: θ = atan2(b, a)이며 −180°에서 180° 사이의 도 단위로 표시합니다.
- 거듭제곱(드무아브르 정리): zⁿ = rⁿ(cos nθ + i sin nθ)
- 제곱근: √z = √r (cos θ/2 + i sin θ/2)이고, 다른 하나의 제곱근은 이 값의 부호를 바꾼 수입니다.
원리
두 복소수를 곱하면 절댓값은 곱해지고 편각은 더해집니다. 따라서 z를 n번 곱하면 r은 rⁿ이 되고 θ는 nθ가 됩니다. 이것이 드무아브르 정리이며, 오일러 공식 e^(iθ) = cos θ + i sin θ를 쓰면 (re^(iθ))ⁿ = rⁿe^(inθ)로 한 줄에 증명됩니다. 반대로 제곱근은 절댓값의 제곱근을 취하고 편각을 절반으로 나눕니다. θ와 θ + 360°는 같은 점을 나타내므로 절반으로 나누면 θ/2와 θ/2 + 180°라는 두 답이 나오고, 이 둘이 서로 부호만 다른 두 제곱근입니다.
예제 풀이
- 기본 입력값은 a = 1, b = 1, n = 5입니다.
- 절댓값 r = √(1² + 1²) = √2 = 1.414213562입니다.
- 편각 θ = atan2(1, 1) = 45°입니다.
- r⁵ = (√2)⁵ = 4√2 ≈ 5.656854이고 5θ = 225°입니다. cos 225° = sin 225° = −√2/2이므로 z⁵ = −4 − 4i이며, 계산기에는 -4 − 4i로 표시됩니다.
- 제곱근은 √r = 2^(1/4) ≈ 1.189207, θ/2 = 22.5°로 계산해 1.098684113 + 0.4550898606i와 그 음수입니다.
| 실수부 | 절댓값 r |
|---|---|
| 0.25 | 1.030776406 |
| 0.5 | 1.118033989 |
| 0.75 | 1.25 |
| 1 | 1.414213562 |
| 1.25 | 1.600781059 |
| 1.5 | 1.802775638 |
| 2 | 2.236067977 |
결과 해석
r > 1이면 거듭제곱할수록 크기가 빠르게 커지고, r < 1이면 0에 가까워지며, r = 1이면 단위원 위에서 회전만 합니다. zⁿ의 편각 nθ가 360°를 넘으면 360°의 배수를 빼서 읽으면 됩니다. 0 대신 1e-15 같은 값이 보이면 부동소수점 반올림 오차입니다.
흔한 실수
- arctan(b/a)로 편각을 구해 a가 음수일 때 사분면을 잘못 잡는 실수입니다.
- 제곱근이 두 개라는 사실을 잊고 하나만 답으로 쓰는 경우입니다.
- 손으로 계산할 때 도와 라디안을 섞어 쓰는 실수입니다.
자주 묻는 질문
복소수의 n제곱근을 모두 구하려면 어떻게 하나요?
절댓값은 r^(1/n), 편각은 (θ + 360°·k)/n (k = 0, 1, …, n − 1)으로 구합니다. 근들은 원 위에 같은 간격으로 놓입니다.
오일러 공식은 무엇인가요?
e^(iθ) = cos θ + i sin θ입니다. z = re^(iθ)로 쓰면 곱셈과 거듭제곱이 간단해집니다.
편각 45°인 수를 5제곱하면 왜 제3사분면에 놓이나요?
5 × 45° = 225°로 180°와 270° 사이이므로 실수부와 허수부가 모두 음수가 됩니다.
출처: NIST Digital Library of Mathematical Functions, §1.9, §4.14 (dlmf.nist.gov) · Needham, T., Visual Complex Analysis, Oxford University Press