홍라이프 계산기로그 합치기 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 로그의 합과 차를 거듭제곱, 곱, 몫의 법칙으로 하나의 로그로 합칩니다. 결과 안의 분자와 분모, 사용한 법칙도 보여 줍니다. 대수와 미적분 입문 연습 문제, 방정식을 풀기 전 식을 간단히 할 때 쓸 수 있습니다.
계산 방법
거듭제곱 법칙: n · log_b(M) = log_b(Mⁿ)
곱의 법칙: log_b(M) + log_b(N) = log_b(MN)
몫의 법칙: log_b(M) − log_b(N) = log_b(M ÷ N)
- 먼저 모든 계수를 지수로 올린 뒤, 더한 항은 곱하고 뺀 항으로는 나눕니다.
- 모든 항은 같은 밑(상용로그, 자연로그, 밑 2, 직접 넣은 밑)을 써야 하며, 진수는 양수라고 가정합니다.
- 상수 c는 log_b(b^c)로 바꾸고, 분수 계수는 분수 지수가 됩니다. 예: ½ log x = log √x
원리
로그는 곱셈을 덧셈으로 바꿉니다. 같은 밑의 거듭제곱을 곱하면 지수가 더해지므로 log(MN) = log M + log N입니다. 로그를 합치는 것은 이 항등식을 거꾸로 쓰는 것입니다. 거듭제곱 법칙은 반복된 곱셈에서 나옵니다. log(M³) = log M + log M + log M = 3 log M입니다. 로그를 하나로 합치면 방정식을 지수 꼴로 바꿔 풀 수 있어 유용합니다.
예제 풀이
기본값: 2 log(x) + log(y) − 3 log(z), 밑 10.
- 거듭제곱 법칙: 2 log x = log(x²), 3 log z = log(z³)입니다.
- 곱의 법칙: log(x²) + log(y) = log(x²·y)입니다.
- 몫의 법칙: log(x²·y) − log(z³) = log(x²·y ÷ z³)입니다.
- 합친 꼴은 log(x²·y/z³), 분자 x²·y, 분모 z³, 읽은 항 3개, 사용한 법칙은 거듭제곱·곱·몫의 법칙입니다.
- 진수가 문자라서 수치 값은 표시되지 않습니다(—).
결과 해석
합친 꼴은 원래 식의 모든 진수가 양수인 곳에서만 원래 식과 같습니다. 모든 진수에 숫자를 넣으면 결과 값도 계산해 주므로, 두 꼴이 같은 값을 주는지 빠르게 확인할 수 있습니다. 예를 들어 x = 10, y = 10, z = 10을 넣으면 원래 식은 2 + 1 − 3 = 0이고, 합친 꼴도 log(1000 ÷ 1000) = 0입니다.
흔한 실수
- log M + log N을 log(M + N)으로 쓰는 경우
- 합치기 전에 거듭제곱 법칙을 적용하지 않는 경우
- 뺀 항을 분자에 넣는 경우
- 밑이 다른 로그를 그대로 합치는 경우
자주 묻는 질문
로그는 어떻게 하나로 합치나요?
계수를 지수로 올린 뒤, 더한 로그의 진수는 곱하고 뺀 로그의 진수로는 나눕니다.
밑이 다른 로그도 합칠 수 있나요?
바로는 안 되며, 먼저 밑 변환 공식으로 같은 밑으로 바꿔야 합니다.
log 2 + log 5는?
밑이 10이면 log 10 = 1입니다.
출처: OpenStax, College Algebra 2e (2021), §6.5 Logarithmic Properties