홍라이프 계산기평균의 신뢰구간 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
신뢰구간은 표본평균, 표본표준편차, 표본 크기를 바탕으로 모평균이 있을 법한 범위를 제시합니다. '평균은 50입니다'라고만 하지 않고 '평균은 50이며 95% 신뢰구간은 47.0~53.0입니다'라고 보고하는 방식입니다. 연구 보고서, 품질관리, 설문 결과 요약에서 표준적으로 사용합니다.
계산 방법
- 표준오차: SE = s ÷ √n이며, s는 표본표준편차, n은 표본 크기입니다.
- t 구간: x̄ ± t* × SE입니다. t*는 자유도 n − 1인 t분포에서 신뢰수준 C에 대해 양쪽 꼬리에 각각 (1 − C)/2를 남기는 임곗값입니다.
- 오차한계 = t* × SE입니다.
- z 구간: 정규분포의 임곗값(95%에서 z* = 1.96)으로 구한 x̄ ± z* × SE이며, 비교용으로 보여 줍니다.
구간의 단위는 평균의 단위와 같습니다.
원리
표본평균은 표본마다 달라지며 그 퍼짐이 SE입니다. 실제로는 모표준편차 σ를 모르고 s로 추정하므로 표준화한 평균은 정규분포보다 꼬리가 두꺼운 t분포를 따르며, 이 차이는 n이 작을수록 큽니다. 이 결과는 고셋이 1908년 '스튜던트'라는 필명으로 발표했습니다. n이 커지면 t*가 z*에 가까워져 두 구간이 거의 같아집니다.
예제 풀이
- 입력값은 x̄ = 50, s = 8, n = 30, 신뢰수준 95%입니다.
- SE = 8 ÷ √30 = 1.460593입니다.
- 자유도가 29이므로 t* = 2.045229642입니다.
- 오차한계 = 2.045230 × 1.460593 = 2.987249094입니다.
- t 구간은 50 ± 2.987249 = 47.01275091 – 52.98724909입니다.
- z 구간은 50 ± 1.959964 × 1.460593 = 50 ± 2.862711 = 47.13728937 – 52.86271063입니다.
결과 해석
'95% 신뢰'는 방법에 대한 말입니다. 같은 방식으로 표본을 여러 번 뽑아 구간을 만들면 그중 약 95%가 참 평균을 포함한다는 뜻입니다. z 구간은 조금 더 좁아서, s로 σ를 추정한 상황에서는 지나치게 낙관적입니다. 오차한계를 절반으로 줄이려면 표본이 약 네 배 필요합니다.
흔한 실수
- 이미 구한 특정 구간에 대해 '참 평균이 이 안에 있을 확률이 95%'라고 말하는 경우
- 표준편차 칸에 표준오차를 입력하는 경우
- 이 구간을 개별 값의 범위로 오해하는 경우: 평균에 대한 구간입니다.
자주 묻는 질문
t와 z 중 무엇을 써야 하나요?
표준편차를 표본에서 구했다면(거의 항상 그렇습니다) t를 쓰시고, σ를 정말 알고 있을 때만 z를 씁니다.
99% 구간은 왜 더 넓은가요?
신뢰수준이 높을수록 임곗값이 커지기 때문입니다(자유도 29에서 99%의 t* ≈ 2.756).
두 신뢰구간이 겹치면 평균이 같다는 뜻인가요?
겹친다고 같다는 증거가 되지는 않습니다. 두 표본 t검정으로 직접 비교하셔야 합니다.
출처: Student (1908). The probable error of a mean. Biometrika, 6(1), 1–25. · NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods.