홍라이프 계산기원뿔곡선 판별 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 일반 이차방정식 Ax² + Bxy + Cy² + Dx + Ey + F = 0이 나타내는 곡선이 타원, 원, 포물선, 쌍곡선 중 무엇인지, 퇴화한 경우까지 판별합니다. 판별식, 퇴화 판정 행렬식, xy항을 없애는 회전각, 중심도 보여 줍니다. 미적분 입문과 해석기하 문제에 쓸 수 있습니다.
계산 방법
판별식 B² − 4AC: 음수 → 타원(B = 0이고 A = C면 원), 0 → 포물선, 양수 → 쌍곡선
Δ = det[[A, B/2, D/2], [B/2, C, E/2], [D/2, E/2, F]]: Δ = 0이면 퇴화(점, 직선 하나나 둘, 또는 없음). 타원에서 (A + C)·Δ > 0이면 실제 점이 없습니다.
cot 2θ = (A − C) ÷ B인 각 θ만큼 축을 돌리면 xy항이 사라집니다.
중심(타원·쌍곡선): 2Ax + By + D = 0, Bx + 2Cy + E = 0을 풉니다.
원리
평면의 모든 이차곡선은 이중 원뿔을 자른 단면입니다. 축을 회전하면 xy항을, 평행이동하면 일차항을 없애 표준형을 얻을 수 있습니다. 판별식 B² − 4AC는 회전해도 변하지 않으므로, 실제로 돌리지 않고도 곡선의 종류를 알려 줍니다. 3 × 3 행렬식 Δ도 회전과 평행이동에 대해 변하지 않으며, 식이 직선들로 인수분해되거나 한 점으로 줄어들 때 정확히 0이 됩니다.
예제 풀이
기본값: 4x² + 9y² − 16x + 18y − 11 = 0 (A = 4, B = 0, C = 9, D = −16, E = 18, F = −11).
- 판별식 = 0² − 4 × 4 × 9 = −144로 음수이므로 타원이며, A ≠ C라 원은 아닙니다.
- Δ = 4(9 × (−11) − 9²) + (−8)(0 × 9 − 9 × (−8)) = −720 − 576 = −1,296으로 0이 아니고, (A + C)Δ < 0이라 실제 타원입니다.
- B = 0이므로 회전각은 0°입니다.
- 중심: 8x − 16 = 0, 18y + 18 = 0에서 (2, −1)입니다. 종류는 타원(Ellipse), 원이 아니므로 반지름은 —입니다.
결과 해석
완전제곱식으로 정리하면 4(x − 2)² + 9(y + 1)² = 36, 즉 (x − 2)²/9 + (y + 1)²/4 = 1이므로 중심이 (2, −1)이고 반축이 3과 2인 타원입니다. 판별식의 부호가 첫 번째 확인이고, Δ = 0이면 '곡선'이 사실은 직선이나 점이라는 경고입니다.
흔한 실수
- B² − AC로 계산하거나 4를 빼먹는 경우
- B가 xy항 전체 계수라 행렬에는 B/2가 들어간다는 점을 잊는 경우
- B ≠ 0인데 A = C라고 원으로 판단하는 경우
- 퇴화한 경우를 무시하는 경우
자주 묻는 질문
방정식이 어떤 원뿔곡선인지 어떻게 아나요?
B² − 4AC를 계산합니다. 음수면 타원, 0이면 포물선, 양수면 쌍곡선입니다.
언제 원이 되나요?
B = 0이고 A = C이며, 실제 점이 있고 퇴화하지 않을 때입니다.
퇴화 원뿔곡선이란?
식이 점 하나, 직선 하나나 둘, 또는 점이 전혀 없는 경우를 나타낼 때입니다.
출처: OpenStax, Precalculus 2e (2021), §10.4 Rotation of Axes