홍라이프 계산기연속성 수정 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 연속성 수정을 적용해 이항확률을 정규분포로 근사하고, 정확한 이항확률과 수정하지 않은 근사와도 비교합니다. P(X = a), ≤, <, ≥, >, 그리고 a ≤ X ≤ b 범위를 다룹니다. 통계 숙제를 풀거나 수정이 왜 필요한지 확인할 때 쓸 수 있습니다.
계산 방법
μ = np, σ = √(np(1 − p))
정수 k 하나를 k − 0.5부터 k + 0.5까지의 구간으로 봅니다.
- P(X = a) ≈ P(a − 0.5 < Y < a + 0.5), P(X ≤ a) ≈ P(Y < a + 0.5), P(X < a) ≈ P(Y < a − 0.5)
- P(X ≥ a) ≈ P(Y > a − 0.5), P(X > a) ≈ P(Y > a + 0.5), P(a ≤ X ≤ b) ≈ P(a − 0.5 < Y < b + 0.5)
Y는 평균 μ, 표준편차 σ인 정규분포이며, 비교를 위해 정확한 이항확률의 합도 보여 줍니다.
- 흔한 기준은 np와 n(1 − p)가 모두 5 이상(엄격한 교재는 10 이상)입니다.
원리
이항분포의 값은 정수뿐이라 확률이 각 정수를 중심으로 한 폭 1짜리 막대에 놓입니다. 정규곡선은 연속입니다. k의 막대를 온전히 덮으려면 정규분포의 넓이를 k − 0.5부터 k + 0.5까지 잡아야 합니다. 반 단위 조정을 하지 않으면 양 끝 막대가 반만 들어가 확률의 일부를 놓칩니다. n이 크지 않고 구간이 좁을수록 수정의 효과가 큽니다.
예제 풀이
기본값: n = 60, p = 0.4, P(20 ≤ X ≤ 28).
- μ = 60 × 0.4 = 24, σ = √(60 × 0.4 × 0.6) = 3.79473, np와 n(1 − p)는 24 · 36입니다.
- 수정한 구간은 P(19.5 < Y < 28.5), z = ±1.1859입니다.
- 수정한 정규 근사 = 0.7643입니다.
- 정확한 이항확률 = 0.7647, 수정 근사의 오차 = −0.00034입니다.
- 수정하지 않은 P(20 < Y < 28) = 0.7082로 오차는 −0.0565입니다.
| 시행 횟수 n | 연속성 수정을 한 정규근사 |
|---|---|
| 15 | 5.591e-13 |
| 30 | 0.002594 |
| 45 | 0.3233 |
| 60 | 0.7643 |
| 75 | 0.3552 |
| 90 | 0.0531 |
| 120 | 0.0001397 |
결과 해석
이 예에서 수정한 근사는 정확한 값과 0.0004 이내로 맞지만, 수정하지 않은 근사는 5퍼센트포인트 넘게 벗어납니다. 요즘은 정확한 이항확률을 쉽게 계산할 수 있어 정규 근사는 주로 개념 학습과 빠른 어림용이며, 쓸 때는 항상 연속성 수정을 함께 적용해야 합니다.
흔한 실수
- 특히 <와 >에서 0.5를 반대 방향으로 더하는 경우
- P(X < a)를 먼저 P(X ≤ a − 1)로 바꾸지 않는 경우
- np나 n(1 − p)가 작은데 근사를 쓰는 경우
- σ를 제곱근 없이 np(1 − p)로 쓰는 경우
자주 묻는 질문
왜 0.5를 더하거나 빼나요?
연속인 정규곡선 아래에서 정수 k는 k − 0.5부터 k + 0.5까지의 구간을 대표하기 때문입니다.
이항분포의 정규 근사는 언제 쓸 수 있나요?
흔히 np ≥ 5, n(1 − p) ≥ 5를 기준으로 하며, 10을 요구하는 교재도 있습니다.
수정한 근사는 정확한 값인가요?
아닙니다. 하지만 보통 수정하지 않은 근사보다 훨씬 정확합니다.
출처: Standard continuity-correction rules for the normal approximation to the binomial distribution