좌표 격자 계산기 (사분면, 원점까지 거리, 대칭이동)

좌표평면 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

이 계산기는 좌표평면 위의 점이 어디에 있는지 알려 줍니다. 사분면이나 좌표축, 좌표의 부호, 원점까지의 거리와 각, 두 축까지의 거리, 대칭이동한 점을 보여 줍니다. 그래프 숙제, 지도 격자, 찍은 점 확인에 쓸 수 있습니다.

계산 방법

• 제1사분면: x > 0, y > 0, 제2사분면: x < 0, y > 0, 제3사분면: x < 0, y < 0, 제4사분면: x > 0, y < 0. 좌표 하나가 0이면 축 위의 점입니다.
• 원점까지의 거리 = √(x² + y²)
• 양의 x축에서 시계 반대 방향으로 잰 각, 0°~360°
• x축까지의 거리 = |y|, y축까지의 거리 = |x|
• 대칭이동: x축 대칭 (x, −y), y축 대칭 (−x, y), 원점 대칭 (−x, −y)

원리

서로 수직인 두 수직선이 원점에서 만나 평면을 네 영역으로 나눕니다. 사분면은 오른쪽 위부터 시계 반대 방향으로 번호를 붙이는데, 각을 재는 방향과 같습니다. 원점까지의 거리는 두 변이 |x|, |y|인 직각삼각형의 빗변이므로 피타고라스 정리로 구합니다. 축에 대한 대칭이동은 거울처럼 그 축을 가로지르는 좌표의 부호만 바꿉니다.

예제 풀이

기본값: x = −3, y = 4.

1. x < 0, y > 0이므로 제2사분면(왼쪽 위)이고, 부호는 (−, +)입니다.
2. 원점까지의 거리 = √(9 + 16) = 5입니다.
3. 각 = 180° − arctan(4/3) = 180° − 53.13° = 126.87°입니다.
4. x축까지의 거리 = 4, y축까지의 거리 = 3입니다.
5. 대칭이동: x축 대칭 (−3, −4), y축 대칭 (3, 4), 원점 대칭 (3, −4)입니다.

결과 해석

사분면을 알면 그 각에서 삼각비의 부호를 알 수 있습니다. 제2사분면에서는 사인이 양수, 코사인이 음수입니다. 점을 복소수 −3 + 4i로 보면 원점까지의 거리는 그 절댓값이기도 합니다. 대칭이동은 그래프의 대칭성을 확인할 때 유용합니다. y축에 대해 대칭인 그래프라면 (−3, 4)를 지날 때 (3, 4)도 지납니다. 원점 대칭은 x축 대칭과 y축 대칭을 차례로 한 것과 같아서, 두 부호를 모두 바꾸면 됩니다.

흔한 실수

• 점을 찍을 때 x와 y를 바꾸는 경우
• 사분면 번호를 시계 방향으로 붙이는 경우
• 좌표 하나가 0인 점을 어떤 사분면에 넣는 경우
• 사분면을 고려하지 않고 arctan(y/x)만 쓰는 경우

자주 묻는 질문

(−3, 4)는 몇 사분면인가요?

왼쪽 위인 제2사분면입니다.

축 위의 점은 몇 사분면인가요?

어느 사분면에도 속하지 않습니다.

y축에 대해 대칭이동하려면?

x의 부호를 바꿉니다. (x, y)가 (−x, y)가 됩니다.

두 점 사이의 거리도 구할 수 있나요?

한 점을 원점으로 옮기듯 두 좌표의 차를 넣으면, 같은 공식 √(Δx² + Δy²)로 구할 수 있습니다.

출처: OpenStax, Algebra and Trigonometry (2015), §2.1 The Rectangular Coordinate Systems and Graphs