홍라이프 계산기상관계수 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
상관계수는 두 변수가 함께 움직이는 정도를 −1부터 +1 사이의 값으로 나타냅니다. 피어슨 상관계수 r은 직선적인(선형) 관계를, 스피어만 순위상관계수 ρ는 순위를 이용해 한 방향으로 꾸준히 증가하거나 감소하는(단조) 관계를 측정합니다. 공부 시간과 성적, 광고비와 매출, 키와 몸무게처럼 두 변수의 관계를 회귀분석 전에 살펴볼 때 사용합니다.
계산 방법
- 피어슨 r = Σ(x − x̄)(y − ȳ) ÷ √[Σ(x − x̄)² × Σ(y − ȳ)²]
- R² = r²로, y의 변동 중 x에 대한 직선으로 설명되는 비율입니다.
- 스피어만 ρ: 각 값을 순위로 바꾸고(동점은 평균 순위) 그 순위로 피어슨 r을 구합니다.
- p값: 귀무가설 ρ = 0에 대해 t = r × √[(n − 2) ÷ (1 − r²)], 자유도 n − 2의 양측검정을 합니다.
X와 Y는 개수가 같은 짝지은 자료(3쌍 이상)여야 하며, 단위가 상쇄되므로 r에는 단위가 없습니다.
원리
분자는 편차의 곱을 더한 값입니다. 어떤 점이 x와 y 모두 평균보다 크거나 모두 작으면 곱이 양수, 한쪽만 크면 음수가 됩니다. 이를 두 변수의 퍼짐으로 나누면 완전한 직선일 때 정확히 ±1이 되도록 크기가 맞춰집니다. 기하학적으로 r은 평균을 뺀 두 자료 벡터 사이 각의 코사인입니다. 순위를 쓰는 스피어만 계수는 이상값이나 곡선형이지만 꾸준히 증가하는 관계에 덜 민감합니다.
예제 풀이
- X = 1, 2, 3, 4, 5, 6, Y = 2, 4, 5, 4, 5, 7이며 평균은 x̄ = 3.5, ȳ = 4.5입니다.
- Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 13.5, Σ(x − x̄)² = 17.5, Σ(y − ȳ)² = 13.5입니다.
- r = 13.5 ÷ √(17.5 × 13.5) = 13.5 ÷ 15.3704 = 0.8783100657, R² = 0.7714285714입니다.
- Y의 순위는 1, 2.5, 4.5, 2.5, 4.5, 6(4와 5가 각각 동점)이고, 순위로 계산한 스피어만 ρ = 0.8533103352입니다.
- t = 0.87831 × √(4 ÷ 0.228571) = 3.674, 자유도 4이므로 양측 p값 = 0.0213116411입니다.
결과 해석
부호는 방향을, 크기는 강도를 나타냅니다. 코언(1988)의 대략적인 기준으로 |r| ≈ 0.1은 작음, 0.3은 중간, 0.5는 큼이지만 분야마다 관례가 다릅니다. 여기서 r ≈ 0.88은 강한 양의 상관이며, p ≈ 0.021 < 0.05이므로 6쌍의 자료로도 우연이라고 보기 어렵습니다. R² = 0.77은 직선이 Y 변동의 약 77%를 설명한다는 뜻입니다.
흔한 실수
- 상관을 인과로 해석하는 경우: 제3의 변수가 둘 다 움직일 수 있습니다.
- 뚜렷한 곡선 관계에 피어슨 r을 쓰는 경우: 관계가 강해도 r이 0에 가까울 수 있습니다.
- 이상값 하나가 큰 r을 만들거나 없앨 수 있다는 점을 무시하는 경우
자주 묻는 질문
언제 스피어만을 써야 하나요?
순위·리커트 척도 같은 서열 자료, 치우친 자료, 단조롭지만 직선이 아닌 관계에는 스피어만이 적합합니다.
r = 0.5는 r = 0.25보다 두 배 강한가요?
설명력으로 보면 R²가 0.25와 0.0625로 네 배 차이입니다.
p값이 유의하면 상관이 강하다는 뜻인가요?
아닙니다. 자료가 수천 쌍이면 r = 0.05도 유의할 수 있으니 r의 크기를 함께 보셔야 합니다.
출처: Cohen, J. (1988). Statistical Power Analysis for the Behavioral Sciences (2nd ed.). Lawrence Erlbaum. · NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods.