동경각 계산기 (양·음의 동경각, 기준각)

동경이 같은 각 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

이 계산기는 주어진 각과 동경(끝선)이 같은 각을 찾습니다. 가장 작은 양의 각, 가장 큰 음의 각, 한 바퀴 앞뒤의 각을 구하고, 회전 수, 기준각, 사분면도 알려 줍니다. 삼각함수 숙제에서 크거나 음수인 각을 간단히 한 뒤 사인과 코사인을 계산할 때 쓸 수 있습니다.

계산 방법

동경이 같은 각: θ + 360° × k (라디안은 θ + 2π × k), k는 임의의 정수

가장 작은 양의 각 = θ에서 온전한 회전을 뺀 나머지, 0° ≤ 각 < 360°

가장 큰 음의 각 = 가장 작은 양의 각 − 360°

기준각: 제1사분면 θ, 제2사분면 180° − θ, 제3사분면 θ − 180°, 제4사분면 360° − θ

• 축 위에 놓이는 각(90°의 배수)은 어느 사분면에도 속하지 않고 예각 기준각이 없습니다.

원리

표준 위치의 각은 양의 x축에서 출발해 양수면 시계 반대 방향, 음수면 시계 방향으로 돕니다. 360° 한 바퀴를 돌면 동경이 같은 자리로 돌아오므로, 온전한 회전을 더하거나 빼도 각이 끝나는 위치는 변하지 않습니다. 삼각함수는 동경에만 달려 있으므로 동경이 같은 각들은 사인, 코사인, 탄젠트가 모두 같습니다. 기준각은 동경과 x축 사이의 예각으로 값의 크기를 정하고, 사분면이 부호를 정합니다.

예제 풀이

기본값: θ = −415°, 도 단위.

1. 두 바퀴를 더하면 −415 + 720 = 305°로 가장 작은 양의 각이며, −415 = 305 − 2 × 360이므로 회전 수 k = −2입니다.
2. 가장 큰 음의 각 = 305 − 360 = −55°입니다.
3. 한 바퀴 앞뒤의 각은 −775°, −55°입니다.
4. 305°는 270°와 360° 사이이므로 제4사분면입니다.
5. 기준각 = 360 − 305 = 55이고, 주각은 305입니다.

결과 해석

−415°의 삼각함수 값을 구하려면 305°를 쓰거나, 기준각 55°에 제4사분면의 부호를 붙이면 됩니다. cos(−415°) = cos 55°로 양수이고, sin(−415°) = −sin 55°로 음수입니다. 동경이 같은 각은 한 바퀴 넘게 돈 바퀴처럼 회전하는 물체가 결국 같은 방향을 가리킨다는 것도 나타냅니다. 아주 큰 각, 예를 들어 1,000°도 360°를 두 번 빼면 280°가 되어 제4사분면, 기준각 80°로 바로 정리됩니다.

흔한 실수

• 동경이 같은 각을 구하며 360° 대신 180°를 더하는 경우
• 가장 작은 양의 각으로 0°와 360°를 서로 다른 답으로 보는 경우(여기서는 0° ≤ 각 < 360°)
• 기준각을 y축에서 재는 경우
• 도와 라디안을 섞는 경우

자주 묻는 질문

동경이 같은 각은 어떻게 구하나요?

360°(또는 2π)를 필요한 만큼 더하거나 뺍니다.

305°의 기준각은?

동경과 x축 사이의 예각인 55°입니다.

동경이 같은 각은 사인과 코사인이 같나요?

네, 같은 동경에서 끝나므로 같습니다.

출처: OpenStax, Precalculus 2e (2021), §5.1 Angles and §5.2 Unit Circle