홍라이프 계산기공분산 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 짝지어진 두 자료의 공분산을 표본 공분산(n − 1로 나눔)과 모공분산(n으로 나눔)으로 구하고, 관계의 방향, 평균, 피어슨 상관계수도 함께 보여 줍니다. 통계 숙제, 두 자산 수익률이 함께 움직이는 정도를 보는 금융 분석, 짝지어진 측정값 연구에 쓸 수 있습니다.
계산 방법
표본 공분산 = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) ÷ (n − 1)
모공분산 = Σ(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ) ÷ n
상관계수 r = 공분산 ÷ (sₓ × s_y)
- x̄와 ȳ는 평균, n은 쌍의 수, sₓ와 s_y는 표준편차입니다.
- 두 목록은 길이가 같고 순서가 서로 맞아야 합니다.
원리
각 쌍에서 (x − x̄)(y − ȳ)는 두 값이 모두 평균보다 크거나 모두 작으면 양수, 서로 반대쪽이면 음수입니다. 이 곱들을 평균하면 두 변수가 함께 움직이는지(양수), 반대로 움직이는지(음수), 직선 관계가 거의 없는지(0 근처)를 알 수 있습니다. n 대신 n − 1로 나누는 것은 같은 자료로 평균을 추정했기 때문에 생기는 치우침을 바로잡아 표본 공분산을 불편추정량으로 만들기 위해서입니다. 공분산은 두 변수의 단위를 모두 가지므로 크기만으로 판단하기 어렵고, 상관계수는 이를 −1부터 1 사이로 다시 맞춘 값입니다.
예제 풀이
기본값: X = 2, 4, 5, 7, 8, 10, Y = 62, 68, 71, 80, 83, 91.
- 평균: x̄ = 36 ÷ 6 = 6, ȳ = 455 ÷ 6 = 75.83333333, 쌍은 6개입니다.
- 교차곱의 합 Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 155입니다.
- 표본 공분산 = 155 ÷ 5 = 31입니다.
- 모공분산 = 155 ÷ 6 = 25.83333333입니다.
- 상관계수 r = 0.9975532341로, 양의 관계 — X와 Y가 함께 증가하는 경향입니다.
결과 해석
공분산에서 가장 쓸모 있는 것은 부호입니다. 이 예에서 X와 Y는 함께 증가합니다. 크기 31은 'X 단위 × Y 단위'이므로 단위를 바꾸면(예: 시간을 분으로) 값도 바뀝니다. 강도는 r로 판단하십시오. 0.998은 거의 완벽한 직선 관계입니다. 공분산이 0 근처라면 직선 관계가 없다는 뜻이지만, 곡선 관계는 여전히 있을 수 있습니다.
흔한 실수
- 단위가 다른 자료끼리 공분산을 비교하는 경우
- 표본 공분산과 모공분산을 혼동하는 경우
- 값의 짝을 잘못 맞추는 경우
- 공분산이나 상관이 크다고 인과관계로 해석하는 경우
자주 묻는 질문
공분산과 상관계수의 차이는?
상관계수는 공분산을 두 표준편차로 나눈 것으로, 단위가 없고 −1과 1 사이입니다.
언제 n − 1로 나누나요?
표본으로 모집단을 추정할 때입니다. 자료가 모집단 전체라면 n으로 나눕니다.
공분산이 음수면?
한 변수가 평균보다 클 때 다른 변수는 평균보다 작은 경향이 있다는 뜻입니다.
출처: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, §6.5.4.1 Mean Vector and Covariance Matrix