홍라이프 계산기크라메르 공식 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 정사각 연립일차방정식 Ax = b를 행렬식을 이용하는 크라메르 공식으로 풉니다. 주 행렬식 D, i번째 열을 b로 바꾼 각 Dᵢ, 그리고 xᵢ = Dᵢ ÷ D를 보여 줍니다. 대수와 선형대수 수업의 2 × 2, 3 × 3 연립방정식을 풀거나 소거법 답을 확인할 때 쓸 수 있습니다.
계산 방법
D = det(A)
Aᵢ = A의 i번째 열을 b로 바꾼 행렬, Dᵢ = det(Aᵢ)
xᵢ = Dᵢ ÷ D, i = 1 … n
- D ≠ 0일 때만 쓸 수 있습니다. D = 0이면 해가 없거나 무수히 많으며, 어느 쪽인지는 행 소거로 판단해야 합니다.
- n × n 연립방정식에서는 행렬식 n + 1개를 계산합니다. 유리수 입력이면 가능한 한 정확한 분수로 나옵니다.
원리
행렬식은 A가 부피를 몇 배로 바꾸는지를 나타냅니다. i번째 열을 b로 바꿔 행렬식을 비교하면 i번째 미지수만 따로 떼어 낼 수 있습니다. b = x₁(1열) + … + xₙ(n열)이고, 행렬식은 각 열에 대해 선형이며 두 열이 같으면 0이 되므로, det(Aᵢ)는 정확히 xᵢ × det(A)가 됩니다. 나누면 xᵢ가 나옵니다. 공식이 깔끔하고 문자 계수 연립방정식에 닫힌 꼴의 답을 주지만, n이 크면 소거법보다 훨씬 느립니다.
예제 풀이
기본값: A = [2 1 −1; −3 −1 2; −2 1 2], b = (8, −11, −3).
- D = det(A) = −1입니다.
- D₁ = det[8 1 −1; −11 −1 2; −3 1 2] = 8(−2 − 2) − 1(−22 + 6) − 1(−11 − 3) = −32 + 16 + 14 = −2입니다.
- 같은 방식으로 D₂ = −3, D₃ = 1이므로 Dᵢ = −2, −3, 1입니다.
- xᵢ = Dᵢ ÷ D = 2, 3, −1입니다.
- 해는 x = (2, 3, −1)이며, 행렬식 4개를 계산했습니다.
결과 해석
해를 다시 대입해 보십시오. 2(2) + 3 − (−1) = 8, −3(2) − 3 + 2(−1) = −11, −2(2) + 3 + 2(−1) = −3으로 모두 맞습니다. 성분 크기에 비해 D가 0에 가까우면 연립방정식이 거의 특이해서, 자료가 조금만 바뀌어도 답이 크게 달라질 수 있다는 경고입니다.
흔한 실수
- 열이 아니라 행을 b로 바꾸는 경우
- 미지수마다 엉뚱한 열을 바꾸는 경우
- Dᵢ ÷ D가 아니라 D ÷ Dᵢ로 나누는 경우
- D = 0인데 공식을 쓰는 경우
자주 묻는 질문
크라메르 공식이란?
det(A) ≠ 0인 정사각 연립방정식의 해를 xᵢ = det(Aᵢ) ÷ det(A)로 구하는 공식입니다.
행렬식이 0이면요?
크라메르 공식을 쓸 수 없으며, 유일한 해가 없습니다.
큰 연립방정식에도 실용적인가요?
아닙니다. 행렬식 n + 1개가 필요해 소거법이 훨씬 효율적입니다.
출처: A. Davis, P. Zachlin et al., Coordinated Linear Algebra (University of Nebraska–Lincoln), §5.3 Cramer's Rule · D. Margalit & J. Rabinoff, Interactive Linear Algebra, §4.2