홍라이프 계산기임계값 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 정한 유의수준에서 표준정규분포(z), t분포, 카이제곱분포, F분포의 임계값을 양측, 왼쪽 단측, 오른쪽 단측 검정에 맞게 구합니다. 기각 규칙과 해당 신뢰수준도 보여 줍니다. 인쇄된 통계표 대신 쓸 수 있습니다.
계산 방법
- 오른쪽 단측: 분포의 (1 − α) 분위수
- 왼쪽 단측: α 분위수
- 양측: α/2와 1 − α/2 분위수이며, z와 t는 같은 값에 ±를 붙입니다.
- 분위수는 누적분포함수를 수치적으로 거꾸로 풀어 구합니다.
- 자주 쓰는 z 값: 1.645(α = 0.10 양측 또는 0.05 단측), 1.960(0.05 양측), 2.576(0.01 양측)
- χ²와 F는 대칭이 아니어서 양쪽 꼬리의 임계값이 다르며, F는 분자와 분모 자유도를 씁니다.
원리
가설검정은 귀무가설이 참일 때 우연으로 설명하기에 통계량이 너무 극단적인지를 묻습니다. 임계값은 '너무 극단적'이 시작되는 지점으로, 귀무분포에서 그 바깥 넓이가 α, 즉 감수하기로 한 거짓 경보의 위험과 같습니다. 양측 검정에서는 그 위험을 양 끝에 나눕니다. 표본이 작으면 t분포의 꼬리가 z보다 두꺼워 임계값이 더 크며, 자유도가 커질수록 t는 z에 가까워집니다.
예제 풀이
기본값: t분포, α = 0.05, 양측, 자유도 15.
- 각 꼬리에 α/2 = 0.025를 두므로 자유도 15인 t분포의 0.975 분위수가 필요합니다.
- 위쪽 임계값 = 2.131, 아래쪽 = −2.131입니다.
- 기각 규칙: |t| > 2.131이면 H₀을 기각합니다.
- 신뢰수준 = 1 − α = 95%, 사용한 자유도는 15입니다.
| 유의수준 α | 임계값 |
|---|---|
| 0.0125 | 2.837 |
| 0.025 | 2.49 |
| 0.0375 | 2.282 |
| 0.05 | 2.131 |
| 0.0625 | 2.012 |
| 0.075 | 1.913 |
| 0.1 | 1.753 |
결과 해석
검정통계량을 임계값과 비교해 그 바깥에 있으면 유의수준 α에서 유의합니다. 같은 값으로 신뢰구간도 만듭니다. 관측값이 16개라면 평균 ± 2.131 × 표준오차가 95% 신뢰구간입니다. t 대신 z의 1.960을 쓰면 작은 표본의 추가 불확실성을 무시해 구간이 좁아집니다. 자유도가 30, 60, 120으로 커지면 양측 5% t 임계값은 각각 약 2.042, 2.000, 1.980으로 줄어 z의 1.960에 점점 가까워집니다. 그래서 표본이 아주 크면 두 분포의 차이를 거의 무시해도 됩니다.
흔한 실수
- 양측 검정에 단측 값을 쓰는 경우
- σ를 모르고 표본이 작은데 z를 쓰는 경우
- n − 1 대신 n처럼 자유도를 잘못 잡는 경우
- χ²나 F에 대칭인 ± 값을 쓰는 경우
자주 묻는 질문
신뢰도 95%, 자유도 15인 t 임계값은?
양측 검정에서 약 2.131입니다.
95%의 z 임계값은?
양측 1.960, 단측 1.645입니다.
카이제곱 양측 임계값은 왜 두 개인가요?
카이제곱분포는 대칭이 아니라서 아래쪽과 위쪽 꼬리의 경계가 서로 다른 값으로 나옵니다.
t 값이 z보다 큰 이유는?
t분포는 표본으로 σ를 추정하는 불확실성을 반영해 꼬리가 더 두껍기 때문입니다.
출처: NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, §1.3.6.7 Tables for Probability Distributions