삼차방정식 풀이 (ax³ + bx² + cx + d = 0)

삼차방정식 풀이 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

삼차방정식은 a ≠ 0일 때 ax³ + bx² + cx + d = 0 꼴의 방정식입니다. 계수가 실수이면 그래프가 −∞에서 +∞까지 이어지므로 실근이 적어도 하나 있고, 세 실근을 갖거나 한 실근과 한 쌍의 켤레 허근을 갖습니다. 부피와 설계 문제, 화학의 상태방정식, 보의 처짐, 보간 곡선 등에 쓰입니다. 이 계산기는 세 근을 공식으로 모두 구합니다.

계산 방법

1. a로 나누어 x³ + Bx² + Cx + D = 0으로 만듭니다(B = b/a, C = c/a, D = d/a).
2. x = t − B/3을 대입해 이차항을 없애면 t³ + Pt + Q = 0이 됩니다. P = C − B²/3, Q = 2B³/27 − BC/3 + D입니다.
3. Δ = Q²/4 + P³/27을 계산합니다.

• Δ > 0: 실근 하나와 허근 둘입니다. 카르다노 공식 u = ∛(−Q/2 + √Δ), v = ∛(−Q/2 − √Δ), t = u + v를 씁니다.
• Δ = 0: 중근이 있으며 u = ∛(−Q/2)일 때 t = 2u, −u입니다.
• Δ < 0: 서로 다른 세 실근이며 삼각함수 공식 tₖ = 2√(−P/3)·cos(θ − 2πk/3)(k = 0, 1, 2)를 씁니다.

1. x = t − B/3으로 되돌리고 실근은 작은 순서로 정렬합니다.

원리

x = t − B/3은 그래프의 변곡점을 원점 쪽으로 옮기는 치환이어서 x²항이 사라집니다. 카르다노는 t = u + v로 놓고 3uv = −P가 되도록 정해 삼차방정식을 u³에 대한 이차방정식으로 바꾸었습니다. Δ는 그 이차방정식의 판별식이므로 부호에 따라 근의 모양이 정해집니다. Δ < 0이면 세 근이 모두 실수인데도 공식 안에 허수가 나타나므로(환원 불능의 경우), 계산기는 cos 3θ = 4cos³θ − 3cosθ를 이용한 삼각함수 풀이를 씁니다.

예제 풀이

1. 입력값: a = 1, b = −6, c = 11, d = −6입니다.
2. 평행이동량은 −B/3 = 2입니다.
3. P = 11 − 36/3 = −1, Q = −16 + 22 − 6 = 0입니다.
4. Δ = −1/27 < 0이므로 세 실근이 있습니다.
5. 2√(1/3) ≈ 1.1547, θ = π/6이므로 t = 1, 0, −1입니다.
6. x = t + 2에서 3, 2, 1이며 결과는 1, 2, 3입니다. 확인: (x − 1)(x − 2)(x − 3) = x³ − 6x² + 11x − 6입니다.

결과 해석

근과 계수의 관계로 답을 검산할 수 있습니다. 세 근의 합은 −b/a(예제는 6), 두 근씩 곱한 합은 c/a(11), 세 근의 곱은 −d/a(6)입니다. ±와 i가 붙은 근은 켤레복소수입니다.

흔한 실수

• 계수 순서를 틀리거나 0인 계수를 빠뜨리는 경우(x³ − 1은 1, 0, 0, −1)
• 정확한 분수를 기대하는 경우(결과는 소수 근삿값입니다)
• 반올림으로 생긴 아주 작은 허수부를 진짜 허근으로 보는 경우

자주 묻는 질문

모든 삼차방정식에 실근이 있나요?

계수가 실수이면 그렇습니다. 그래프가 x축을 적어도 한 번은 지나기 때문입니다.

인수분해로 풀 수는 없나요?

유리근 p/q가 있다면 p는 d의 약수, q는 a의 약수입니다. 그 인수로 나눈 뒤 남은 이차방정식을 풀면 됩니다.

삼차방정식의 근의 공식은 누가 만들었나요?

16세기 초 델 페로와 타르탈리아가 풀었고, 카르다노가 1545년 『아르스 마그나』에 발표했습니다.

출처: M. Abramowitz, I. A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, §3.8.2 · W. H. Press 외, Numerical Recipes, Cambridge University Press, §5.6