사이클로이드 계산기 (굴러가는 원의 아치 길이·넓이·점의 위치)

사이클로이드 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

이 계산기는 굴러가는 원의 둘레 위 한 점이 그리는 곡선인 사이클로이드를 다룹니다. 원의 반지름으로 아치 하나의 길이, 폭, 높이, 넓이를 구하고, 원이 돈 각도를 넣으면 그 점의 위치와 지금까지 지나온 거리를 알려 줍니다. 미적분 문제, 바퀴와 기어에 대한 아이디어, '가장 빨리 내려가는 곡선'에 대한 호기심에 쓸 수 있습니다.

계산 방법

점의 위치: x = r(t − sin t), y = r(1 − cos t), t는 라디안

아치 하나: 폭 2πr, 높이 2r

아치 아래 넓이 = 3πr²

0부터 t까지의 호 길이(아치 하나 안) = 4r(1 − cos(t/2)), 아치 전체 = 8r

• 길이는 r의 단위, 넓이는 그 제곱입니다.

원리

원이 미끄러지지 않고 구르면 중심은 rt만큼 앞으로 가고, 둘레의 점은 중심 주위로 각 t만큼 돕니다. 이 두 움직임을 더하면 매개방정식이 됩니다. 점은 한 바퀴가 시작될 때 땅에 닿아 순간적으로 멈추고, 반 바퀴 뒤 높이 2r로 가장 높아집니다. 속력 √(x′² + y′²) = 2r sin(t/2)를 적분하면 호의 길이가, y dx를 적분하면 원 넓이의 세 배인 넓이가 나옵니다. 사이클로이드는 중력 아래에서 가장 빨리 내려가는 곡선(최단강하곡선)으로도 유명합니다.

예제 풀이

기본값: r = 35cm, t = 90°.

1. 아치 하나: 길이 8 × 35 = 280cm, 폭 2π × 35 = 219.911cm, 높이 2 × 35 = 70cm입니다.
2. 아치 아래 넓이 = 3π × 35² = 11,545.4cm²입니다.
3. t = 90° = π/2에서 x = 35(π/2 − 1) = 19.9779cm, y = 35(1 − 0) = 35cm입니다.
4. 지금까지 지나온 거리 = 4 × 35 × (1 − cos 45°) = 41.0051cm입니다.

결과 해석

4분의 1 바퀴를 돌면 점은 중심 높이까지 올라가지만 앞으로는 약 20cm만 나아간 반면, 바퀴 중심은 55cm 나아갔습니다. 둘레의 점은 처음에는 뒤처지다가 나중에 앞질러 갑니다. 한 바퀴 동안 점은 곡선 경로를 따라 280cm를 움직이고, 바퀴는 앞으로 219.9cm를 굴러갑니다. 굴러가는 바퀴의 가장자리에 표시를 하고 옆에서 보면 이 곡선을 직접 볼 수 있습니다.

흔한 실수

• sin과 cos에 도를 라디안으로 바꾸지 않고 넣는 경우
• 아치의 폭 2πr과 길이 8r을 혼동하는 경우
• 호 길이 공식을 아치 하나를 넘어서 쓰는 경우
• 반지름 대신 지름을 r로 넣는 경우

자주 묻는 질문

사이클로이드 아치 하나의 길이는?

굴러가는 원 반지름의 정확히 8배입니다.

아치 아래의 넓이는?

3πr²로 원 넓이의 세 배입니다.

사이클로이드가 유명한 이유는?

중력 아래 두 점 사이를 가장 빨리 내려가는 곡선이자, 어디서 출발해도 바닥까지 걸리는 시간이 같은 곡선(등시곡선)이기 때문입니다.

출처: OpenStax, Calculus Volume 2 (2016), §7.2 Calculus of Parametric Curves