원기둥 계산기

원기둥 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

원기둥은 캔, 파이프, 원통형 탱크처럼 합동인 두 원이 그에 수직인 곡면으로 이어진 입체도형입니다. 밑면의 반지름 r과 높이 h를 넣으면 부피, 옆넓이, 겉넓이를 구합니다. 물탱크나 배관에 담기는 양을 계산할 때, 캔을 만들 철판이나 라벨의 크기를 정할 때, 원기둥 모양의 기둥에 칠할 페인트 양을 어림할 때 쓰입니다.

계산 방법

• 부피: V = πr²h
• 옆넓이: 2πrh
• 겉넓이: 2πr(r + h) = 2πrh + 2πr²

r과 h는 같은 단위로 넣어야 하며, 부피는 단위의 세제곱, 넓이는 단위의 제곱으로 나옵니다. 지름을 알고 있다면 r = d ÷ 2로 바꿔 넣으십시오. 용량으로 바꿀 때는 1,000 cm³ = 1 L, 1 m³ = 1,000 L입니다.

원리

원기둥을 가로로 자르면 어느 높이에서나 넓이가 πr²인 같은 원이 나옵니다. 이 넓이를 높이 h만큼 쌓은 것이 부피이므로 ‘밑넓이 × 높이’이며, 각기둥과 같은 원리입니다. 카발리에리의 원리에 따르면 단면의 넓이가 모두 같은 한, 비스듬히 기운 원기둥도 수직 높이를 쓰면 부피가 같습니다. 옆면은 한 줄로 잘라 펼치면 가로가 원주 2πr, 세로가 h인 직사각형이 되므로 넓이는 2πrh입니다. 여기에 두 밑면 2 × πr²를 더하면 겉넓이가 됩니다.

예제 풀이

1. 입력값은 r = 3, h = 10입니다.
2. 밑넓이는 π × 3² = 9π ≈ 28.274334입니다.
3. 부피는 9π × 10 = 90π ≈ 282.7433388입니다.
4. 옆넓이는 2 × π × 3 × 10 = 60π ≈ 188.4955592입니다.
5. 겉넓이는 2 × π × 3 × (3 + 10) = 78π ≈ 245.044227입니다.
6. 단위가 cm라면 약 282.7 cm³, 즉 0.283 L가 담깁니다.

결과 해석

부피가 정해져 있을 때 뚜껑까지 있는 원기둥은 높이가 지름과 같을 때(h = 2r) 재료가 가장 적게 듭니다. 실제 캔은 손에 쥐기 쉽고 쌓기 좋게 이보다 길쭉한 경우가 많습니다. 부피는 r²에 비례하고 h에는 1차로만 비례하므로, 지름을 조금 늘리는 것이 같은 길이만큼 높이를 늘리는 것보다 용량을 훨씬 크게 늘립니다.

흔한 실수

• 반지름 칸에 지름을 넣어 부피가 네 배가 되는 경우입니다.
• 겉넓이가 필요한데 밑면을 빠뜨리거나, 라벨처럼 옆면만 필요한데 밑면까지 더하는 경우입니다.
• 기울어진 원기둥에서 수직 높이 대신 비스듬한 길이를 쓰는 경우입니다.

자주 묻는 질문

원하는 부피에 맞는 높이는 어떻게 구하나요?

h = V ÷ (πr²)입니다. r = 5 cm로 1 L(1,000 cm³)를 담으려면 h ≈ 12.73 cm입니다.

배관 1 m에는 물이 얼마나 들어가나요?

안지름 기준으로 πr² × 1 m를 계산합니다. 안지름 10 cm 관은 1 m당 약 7.85 L입니다.

속이 빈 원통의 재료 부피는요?

바깥 반지름 R, 안쪽 반지름 r일 때 π(R² − r²)h입니다.

출처: Archimedes, On the Sphere and Cylinder, Book I · B. Cavalieri, Geometria indivisibilibus continuorum (1635)